表2
规模报酬不变投入主导型DEA的结果
很多研究都讨论目标和对应点。DMU的目标也就是对应的效率投影点3’。这等于0.833×(2,2)= (1.666,1.666)。因此，DMU3要得到3单元的产出就得要用3×(1.666,1.666)=(5,5)单元的两种投入
人们可以对其他各个无效率的DMU进行类似的讨论。DMU4的效率指数是0.714，同DMU3一样有类似的对应点。DMU1的效率指数是0.5，DMU2就是他的效率的对应点。我们可以注意到，DMU1的估计点在效率部分的上端，这个效率部分平行于x2的轴。因此，它不代表效率点（根据Koopman的定义。）因为我们可以减低投入x2的0.5个单位（因此生产点就在点2）仍旧能得到相同数量的产出。因此DMU1可以说为投入放射性浪费了50%，并且有0.5单元的x2的（非放射性）投入松弛变量。这就导致了目标(x1=1,x2=2)。那就是相对应的点2.
3.2 The Variable Returns to Scale Model (VRS)and
Scale Efficiencies 规模收益变化模型（VRS）和规模效率
CRS的假设仅仅在所有的DMU都在最优的规模上运作的时候才合适（例如：LRAC曲线上的一个相应的平面部分）。不完全竞争和约束，财务等等，可能导致DMU不在最合适的规模上运作。Banker,Charnes and Cooper(1984)拓展了规模报酬不变的DEA模型为规模报酬变化的情形。当DMU没有在最优的规模上运作的时候，CRS说明书的使用可能会导致技术效率的测度被规模效率所混淆。VRS模型说明书将会允许剔除规模效率影响的技术效率的计算。
CRS线性规划模型可以通过增加凸性约束很容易的修改成VRS模型。对等式12增加的凸性约束为：N1’λ=1 可以得到，
minθ,λθ,
st -yi+Yλ≥0,
θxi-Xλ≥0, N1’λ=1
λ≥0, （15）
N1是所有的N×1的矩阵。这种方法形成了一个凸面，他能够比CRS的圆锥形的面更紧密的包络所有的数据，因此获得的技术效率比使用CRS模型获得的技术效率高或者是相等的。VRS规说明书是20世纪最受欢迎的说明书。
Calculation of Scale Efficiencies 规模效率的计算
许多研究把从CRS模型获得的技术效率分解成了两部分，一部分是因为规模无效率，一部分是因为纯技术无效。这可以在相同的数据上通过实施CRS和VRS两个DEA模型来做到。如果对于一个特定的DMU，两个技术效率不同，这就证明这个DMU存在规模无效。规模无效可以通过VRS的技术效率和CRS的技术效率的不同来计算。
数据7试图阐述这一问题。在这个数据里面我们有一投入一产出的例子，并且我们画出了VRS和CRS的效率前沿。在CRS的投入主导型技术无效里，P点的距离是PPC，而在VRS模型里技术无效是PPV。两者的不同PCPV，就是规模无效率。我们可以用比率效率测度来表示这些。
TEI,CRS=APC/AP TEI,VRS=APV/AP SEI=APC/APV
所有的这些测度都在0~1之间。我们也可以注意到，
TEI,CRS=TEI,VRS×SEI 因为
APC/AP=(APV/AP)×(APC/APV).
这就是CRS的技术效率可以分解称纯技术效率和规模效率。
数据 7
DEA中规模经济的计算
规模效率方法的一个缺点就是他的值不能反映DMU是否运行在规模报酬递增或者规模报酬递减的领域里。这可以通过运行一个非规模报酬递增（NIRS）的额外的DEA模型来确定。这可以通过改变等式15的DEA模型来做到，将等式15的N1’λ=1的限制替换成N1’λ≤1可以得到
minθ,λθ,
st -yi+Yλ≥0,
θxi-Xλ≥0, N1’λ≤1
λ≥0, （16） NIRS DEA前沿在数据7中绘出。一个DMU的规模无效率（例如：由于规模递增或者规模递减）的类型可以通过看NIRS的技术效率值与VRS的技术效率值是否一致确定。如果不相等（就是数据7点P 的例子），那么这个DMU就存在
规模报酬递增。如果他们相等（就是数据7点Q的例子），规模报酬递减适用。An example of this approach applied to international airlines is
provided in BIE(1994). BIE(1994)提供的国际航线的例子适用于这个方法。
Example 2例子2
这是一个简单的包括5个公司的例子，每个公司都用一种单一的投入生产单一的产品。数据在表3中列出，VRS和CRS投入主导型DEA模型的结果在表4中列出，在数据8中画出。假设我们使用投入主导型，效率通过数据8可以水平的测出。当我们假设是规模报酬不变的时候，我们观测到公司3是唯一的有效率的公司（在DEA的效率前沿上），但是当我们假设规模报酬变化的时候，公司1，3，5都是有效的。
不同的效率方法的计算可以通过使用公司2来展示，因为公司2在CRS和VRS两种模型下技术效率都是无效的。
CRS的技术效率等于2/4=0.5，VRS的技术效率是2.5/4=0.625，规模效率等于CRS的技术效率和VRS的技术效率的比率，那就是0.5/0.625=0.8。我们也可以观察到，公司2在VRS的效率前沿的规模报酬递增阶段。
表 3
规模报酬变化的DEA模型的例子数据
表 4
VRS投入主导型DEA的结果
数据8
VRS投入主导型DEA例子
3.3 Input and Output Orientations 投入和产出主导型
在上面的投入主导型模型里面，我们在3.1和3.2部分讨论过的，这个模型试图把技术无效定义为按比例降低浪费的投入。这相当于Farrell基于投入方法计算的技术无效。正如在2.2部分所讨论的，我们也可能把技术无效作为按比例的增加产出来计算。在规模报酬不变的情况下两种方法的值是相同的，但是当规模报酬变化的时候就是不相同的（见数据3）。假设线性规划模型不会受到联立方程偏见这样的统计问题。合适方向的选择不会像计量经济学的估计例子那样至关重要。在很多的研究中，分析都倾向于投入主导型模型，因为很多的DMU有特别的命令需要满足（比如发电）。因此投入的数量看起来是主要决定的变量，尽管这个论点可能不是在所有的工业中都是强烈的。在一些工业中，DMU可能给定了固定数量的资源，被要求生产尽可能多的产出。在这种情况下，产出主导型就是比较合适的。必要的是我们选择方向的根据是那些数量是管理者能最大限度的控制的。进一步讲，在很多情况下，你会发现方向的选择会对得到的数据产生微弱的影响。(e.g.see Coelli and Perelman 1996).
产出主导型的模型和投入主导型的模型非常的相似。考虑下面的产出主导型的VRS模型的例子。
maxφ,λφ,
st -φyi+Yλ≥0,
xi-Xλ≥0, N1’λ=1
λ≥0, （17）
其中1≤φ<∞，φ-1就是第i个DMU在保持投入数量不变的前提下，产出所能增加的比例。注意，φ-1定义了在0~1之间变动的技术效率指数（这就是DEAP软件得出的产出主导型的技术效率）一个产出主导型的DEA的两个产出的例子，可以由一个分段线性产出可能曲线代表，正如数据8所展示的那样。
注意，观测点在曲线的下方，曲线的一部分和坐标轴成直角，当生产点通过辐射
状的膨胀产出线投影到这部分曲线时，就要计算产出的松弛变量。
例如点P 投影到点P’点，P’点在前沿，但是却不是效率前沿上，因为在不增加任何产出的情况下，产品Y1可以通过AP’增加产量。AP’就是产出y1的产出松弛变量。
有一点需要强调，那就是产出主导型和投入主导型模型将会通过定义准确的估计相同的前沿，，识别出同一个DMU作为最有效率的。对于无效率的DMU的效率测度方法在两个方法可能是不同的。两种方法我们将在数据3的第二部分展示，在那我们能观察到仅当规模收益不变时两者才能提供相同的效率值。
数据 8
产主导型的DEA
3.4 Price Information and Allocative Efficiency 价格信息
和配置效率
如果我们有价格的信息，我们就会考虑行为目标，比如成本最小或者产出最大，这样我们就既可以测度技术效率又可以测度配置效率了。对于VRS的成本最小化的例子，我们将使用等式15包含的投入主导型的DEA模型来计算技术效率。我们然后运行下面的成本最小化的DEA模型。
minλ,xi* wi’xi*,
st -yi+Yλ≥0,
xi*-Xλ≥0, N1’λ=1
λ≥0, （23）
其中wi是第i个DMU的投入价格矩阵，xi*（由线性规划模型计算出）是在给定的投入价格wi和产出水平yi的情况下，能使第i个DMU达到成本最小化的投入数量。总的第i个DMU的成本效率或者是经济效率就可以这样计算
CE=wi’xi*/wi’xi。
那就是用成本最小的比例观测成本。我们然后可以运用等式4去计算配置效率残余，为
AE=CE/TE。
注意，这种计算方法不会对配置效率的测度产生任何松弛变量。这在松弛变量反映不合适投入比例的背景下总是合理的。
我们也注意到我们也可以用同样的方式考虑产出混合选择的收入最大化和