0.30?0.3P(X?1)?1?P(X?0)?1?e?1?e?0.3?0.2590!（2） 。
4．某人购买某种彩票，若已知中奖的概率为0.001，现购买2000张彩票，试求：（1） 此人中奖的
概率；（2）至少有3张彩票中奖的概率（用泊松分布近似计算）。
解：设中奖的彩票数为X，则X?B(2000,0.001).
2000P(X?1)?1?P(X?0)?1?(0.999)?0.8648. （1）
（2）由于2000?0.001?2，故
P(X?3)?1?P(X?0)?P(X?1)?P(X?2)
202122?2?1?(??)e?1?5e?2?0.32330!1!2!.
习题2-3连续型随机变量
1. 设连续型随机变量X的密度函数为
?ax2,0?x?1,?f(x)??2?x,1?x?2,
?其他.?0,13试求：（1）常数a的值；（2）随机变量X的分布函数；（3）P(?X?)。
22解：（1）由于1??????f(x)dx??ax2dx??(2?x)dx?0112a13?a?32. 故2. （2）当x?0时，F(x)?0；
当0?x?1时，F(x)??F(x)??x0321tdt?x322； 当1?x?2时，x321tdt??(2?t)dt?2x?x2?10212； 1 当x?2时，F(x)?1. 故，
5
?0,??1x3,?2F(x)????1x2?2x?1,?2?1,?x?0,0?x?1,1?x?2x?2. 13321313P(?X?)??x2dx??(2?x)dx?1221216. （3）2?A(1?e?x)，x?02. 设连续型随机变量X的分布函数为F(x)??,
0，x?0?试求：（1）系数A；（2）X的密度函数；（3）P(1?X?3)。 解：（1）由F(??)?1知，
1?limF(x)?limA(1?e?x)?Ax???x???。
?e?x,x?0;f(x)?F?(x)???0,x?0. （2）
?3?1?1?3P(1?X?3)?F(3)?F(1)?1?e?1?e?e?e （3）。
????3. 设K在(0，5)内服从均匀分布, 求方程4x2?4Kx?K?2?0有实根的概率。
解：所求的概率为：
P(16K2?16?K?2??0)?P?K?2或K??1??P?K?2??P?K??1???5213dx?0?.55 4. 某种型号的电子管寿命X (以小时计)具有以下概率密度
?1000?2，x?1000f(x)? ， ?x??0，其他现有一大批此种管子（设各电子管损坏与否相互独立）, 任取5只，问其中至少有2只寿命大于1500
小时的概率是多少？
P(X?1500)?解： 从而所求概率为
0?1?1?C5???3?51?C510002dx??1500x23??。 2?1???3?3?4?1?1135。
（3，4）5. 设连续型随机变量X~N，（1）求P?（2）确定常数C使2?X?5?,PX?2；
P?X?C??P?X?C?。
?? 6
?5?3??2?3?P(2?X?5)??????????(1)??(?0.5)22??????(1)??1???0.5???0.5328解：（1） P?X?2??1?P?X?2??1?P??2?X?2???2?3???2?3???1?????????????0.5??1???2.5??0.697722?????? （2）由于P?X?c??P?X?c?，从而，P?X?c??12。 ??0??故1?c?3?c?3?P?X?c??????02?2?。所以，2,故c?3。 习题2-4 二维随机变量及其分布
1．一箱子装有100件产品，其中一、二、三等品分别为80件，10件，10件。现从中随机抽取一件，
记
?1,若抽到一等品,?1，若抽到二等品, X2?? X1??0,其他.0，其他.??试求(X1,X2)的联合分布列。 解： P?X1?1,
X2?1??0;X2?0??P?X1?1??80?0.8;10010X2?1??P?X2?1???0.1;1002. 完成下列表格
10X2?0???0.1。100P?X1?1,P?X1?0,P?X1?0,Y X y1 0.1 0.2 0.3 y2 0.1 0.2 0.3 y3 0.2 0.2 0.4 pi. 0.4 0.6 1 x1 x2 p.j
3．设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为：
?x2?cxy,f(x,y)???00?x?1,0?y?2其他，
求：（1）常数c；（2）P{X?Y?1}；（3）X和Y的边缘密度函数。
解：（1）
1???10?12?0?x?cxy?dydx?3?c,c?3 22?7
?1?x?217??P?X?Y?1????dx??x?xy?dy??0??0372????1。 求X的边缘密度函数： 当
fX?x??x?0或x?1时，
?f?x,y?dy。 fX?x??0；
???? 当0?x?1时，求Y的边缘密度函数：
fX?x???202?21?2x?xydy?2x?x??33。 ??f?x,y?dx。当
fY?y??1?????y?0或y?2时，fY?y??0；
当0?y?2时，fY?y??11?21?x?xydx??y???0?336。 ?4. 设(X,Y)服从G?{(x,y)|0?x?2,0?y?1}上的均匀分布，求：
（1）(X,Y)的联合概率密度函数；（2）P{Y?X2}；（3）X和Y的边缘密度函数。 解：（1）由（X，Y）服从G上的均匀分布知，（X，Y）的联合密度为：
?1?,f?x,y???2??0,PY?X（2）0?x?2其他。2,0?y?1; ????204?x21?dy?dx???3。 ?02?（3）先求X的边缘密度： 当
fX?x??时
，
?????f?x,y?dy；
。 当
x?0或x?2fX?x??00?x?2时，
fX?x???1011dy?22。 fY 再求Y的边缘密度函数：
?y???????f?x,y?dx
当
y?0或y?1时，fY?y??0；当0?y?1时，fY?y???201dx?12。 习题2-5 条件分布及随机变量的独立性
1．设二维离散型随机变量(X,Y)只取 (0,0),(?1,1),(?1,2) 及 (2,0) 四对值，相应概率依次为
1115, , , ，试判断随机变量X与Y是否相互独立。 126312
8
1P(X?0)?,12解：由于P?X?0, 而所以，X与Y不独立。
151P?Y?0????,12122 11?P?X?0?P?Y?0??,1224 Y?0??2. 设随机变量X与Y相互独立，试完成下表：
Y X x1 y1 1/24 1/8 1/6 y2 1/8 3/8 1/2 y3 1/12 1/4 1/3 pi. 1/4 3/4 x2 p.j
1 3．设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度函数为
??1,0?x?1,0?y?2x,f(x,y)??
0,其他.??试判定X与Y是否相互独立。 解：
fX(x)??????f(x,y)dy.
2x当x?0或x?1时，
fX(x)?0；当0?x?1时，fX(x)??01dy?2x.
.
fY(y)??????f(x,y)dx当y?0或y?2时，fY(y)?0；当0?y?1时，fY(y)??1dx?1?y21y2. 由于当(x,y)?{0?x?1,0?y?2x}时，
f(x,y)?fX(x)?fY(y)，
且区域{0?x?1,0?y?2x}的面积不为0，所以，X与Y不相互独立.
4. 设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度函数为
?cxy20?x?1,0?y?1， f(x,y)??其他?0求常数c，并判断X与Y是否相互独立。
9