解：1???????????1c?f?x,y?dxdy????cxy2dy?dx?,?0?0?6从而，c1?6。 求X的边缘密度：当
fX?x???????f?x,y?dy。
x?0或x?1时，fX?x??0；
当0?x?1时，
fX?x??fY?106xy2dy?2x??。
求Y的边缘密度函数： 当
?y?????1f?x,y?dx。
y?0或y?1时，fY?y??0；
fY?y??0?y?1时，
当
由于对任x，y，有
?06xy2dx?3y2。
f?x,y??fX?x?fY?y?。所以，X与Y相互独立。
?1?y/2?e,fY(y)??2??0,y?0． y?025．设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0,1）内服从均匀分布，Y的概率密度为
（1）求X与Y的联合概率密度；（2）设关于a的二次方程为 a?2Xa?Y?0，求此方程有实根的概率。
?1,?0,f(x)解：由X~U(0，1)知X的密度为：X=?由X与Y独立知，(X,Y)的一个联合密度为：
y?1?2?e,x(?f)Yy(?)?2?0,?0?x?1;其他.
f(x,y)?fX0?x?1,y?其他.0; 方程有实跟的概率为：
22P(4X?4Y?0)?P(X?Y?0)??0 11(?x20x1?21?edy)dx?1?e2dx?02 y2?1?2?(? 12???e?x22dx??012???e?x22dx)?1?2?(?(1)??(0)0.482??)1?7。 习题2-6 随机变量函数的分布
1．设随机变量X的分布列为
X
-2 -1 10
0 1 pk 1/6 21/3 1/6 1/3 试求：(1)Y?2X?1，(2)Z?X解：
的分布列。
2．设
随机变量
Y?2X?1 ?5 pk ?3 13 ?1 1 Z?X2 pk 0 1 4 16 14 15 16 23 16 Y?eX的密度函数。 X?U(0,，试求1)??1,0?x?1,f(x)??xX0,其他.?X?U(0,1)y?g(x)?e?Y?e解：由知其密度函数为设，函数. 则
??min{g(??),g(??)}?0，??max{g(??),g(??)}???.所以，当y?(0,??)时，fY(y)?f(lny)111?f(lny)fY(y)?yy.从而，当0?lny?1，即1?y?e时，y。 ?1?x?0,0?x?2,试求Y?X2的密度函数fY(y)。 其他.?1?2,??13．设连续型随机变量X的密度函数为 f(x)??,?4?0,??2F(y)F(y)?P(Y?y)?P(X?y). YYY解：先求的分布函数，在对其求导数.
y当y?0时，FY(y)?0，故fY(y)?0；当y?0时，1FY(y)??dx?2?y0yFY(y)?P(?y?X?y)??y?f(x)dx. ?y??1，即0?y?1时，当?y??1且当?013dx?y4401?3fY(y)?FY?(y)?y28，故，； yy?2，即1?y?4时，1FY(y)??dx?2?1?0111dx??y424，故，1?1fY(y)?FY?(y)?y28； 当
?y??1且y?2，即4?y时，FY(y)?1，故fY(y)?0. ?2(1?x),?0,0?x?1， 求函数Y?2X?3 的密
其它4. 设连续型随机变量X的密度函数为f(x)??度函数fY(y)。
11
解： 解法一： FY(y)?P(Y?y)?P(2X?3?y)?P(X?y?3) 2?0??y?3? ???22(1?x)dx0??1??y?3?02y?30??1 2y?3?12?1?(5?y)3?y?5所以：fY(y)?FY?(y)??2 ?其他?0解法二：y?2x?3的反函数为：x?y?31，其导数：x?? 22y?3?1?1?2*(1?)3?y?5?(5?y)3?y?5??2代入公式：fY(y)?? 22??0其他其他??0
习题3-1 数学期望
1．填空题
（1）设二维随机变量(X,Y)?N(10,2,1,1,0)，则E(?2XY?Y?5)? 33 。 （2）设随机变量X?P(2)，Y?U(0,6)，若Z?2X?3Y?3，则E(Z)? -8 。 2．设X的分布列为：
X P 1 1 2 211111 366124-1 0 2求（1）E(X)；（2）E(?X?1)；（3）E(X)。
111111(1)E(X)?(?1)????1??2??3261243， 解：(2)E(?X?1)??E(X)?1?23， 1111135(3)E(X2)?(?1)2??()2??12??22??32612424。 E(X)?1?故14484432481?2??3???25625625625664。 3．设连续型随机变量X的密度函数为
12
0?x?1?x,?f(x)??2?x,1?x?2，
?0,其他?求（1）EX，（2）E|X?EX|。
解：
E(X)??????xf(x)dx??x?xdx??x(2?x)dx?101??1212，
E(X?EX)??
??x?1f(x)dx??0(1?x)xdx??1(x?1)(2?x)dx?13。 4．设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布列为
Y X 0 1 0 0.3 0.2 1 0.4 0.1 求：（1）E(X),E(Y)；（2）E(X?2Y),E(3XY)。 解：（1） X 0 0.5 1 0.5 pk E(X)?0. 5
Y 0 0.7 1 0.3 pk E(Y)?0. 3(2) E(X?2Y)?1?0.4?(?2)?0.2?(?1)?0.1??0.1，
?3E(XY?) E(3XY)?3?10.?1。
5．设(X,Y)服从在A上的均匀分布，其中A为x轴、y轴及直线x?y?1?0所围成的区域，求（1）E(X); （2）E(?3X?2Y) ;（3）E(XY)。 解：由题意知(X,Y)的联合密度为：
?2f(x,y)???0
（1）(x,y?)A其他0
0E(X)???????????xf(x,y)dxdy??(??1?x?12xdy)dx??13。 （2）E(?3X?2Y)??3E(X)?2E(Y)?1?2E(Y)
13
?1?2?????0?????0yf(x,y)dxdy
?1?2?(??1?1?y2ydx)dy?13。 （3）E(XY)???????????1xyf(x,y)dxdy?(?xy?2dy)dx12=?1?1?x=。 00
习题3-2 方差
1. 填空题
（1）设随机变量X1，X2，X3相互独立，其中X1~U(0,6)，X2~N(0,4)，X3服从参数为3的泊松分布，记Y?X1?2X2?3X3，则D(Y)? 46 。
（2）已知X~U(?2,2)，Y?2X?1，则E(Y)?___113_____，D(Y)?__25645_______。
22X?Y?5)?（3）设二维随机变量(X,Y)?N(1,2,1,1,0)，则D(?分布为____N(5,5)______。
2. 设连续型随机变量X的分布函数为
Z??2X?Y___5_____，
0,x??1??21?F(x)??arctanx?,?1?x?1，
2??1,x?1??求（1）X的密度函数；（2）E(X),D(X)。
?21?f(x)???1?x2???0解：(1)由f(x)?F(x)知 E(X)????1?1?x?1其他 （2）????12xx2422xf(x)dx??dx?0E(X)?xf(x)dx?dx??1???1?1?x2???1?1?x2?，，2D(X)?E(X2)?(E(X))2?
4??1。 3．设随机变量X?P(?)且E[(X?1)(X?2)]?1，随机变量Y?B(8,)且X与Y相互独立，试求E(X?3Y?4)及D(X?3Y?4)。
222X?P(?)E(X)??D(X)??E(X)?D(X)?(E(X))????解：由知，. 所以，. 又
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