第一部分 专题二 第2讲 数列的综合应用
(限时60分钟，满分100分)
一、选择题(本大题共6个小题，每小题6分，共36分) 1x,1－x,2
1．命题甲：()22x成等比数列；命题乙：lgx，lg(x＋1)，lg(x
2＋3)成等差数列，则甲是乙的( )
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 解析：命题甲：(21－x)2＝2－x·2x2， 即2(1－x)＝－x＋x2， 得：x＝－2或x＝1.
命题乙：2lg(x＋1)＝lgx＋lg(x＋3)， 即(x＋1)2＝x(x＋3)，得：x＝1. 故甲?/乙，乙?甲， 故甲是乙的必要非充分条件． 答案：B
2．已知等比数列{an}中，a2＝1，则其前3项的和S3的取值范围是( )
A．(－∞，－1] B．(－∞，0)∪(1，＋∞) C．[3，＋∞) D．(－∞，－1]∪[3，＋∞) 1解析：设a1＝x，且x≠0，则S3＝x＋1＋x， 111
由函数y＝x＋x的图象知：x＋x≥2或x＋x≤－2， ∴y∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
答案：D
3．首项为b，公比为a的等比数列{an}的前n项和为Sn，对任意的n∈N*，点(Sn，Sn＋1)在( )
A．直线y＝ax＋b上 B．直线y＝bx＋a上 C．直线y＝bx－a上 D．直线y＝ax－b上 b?1－an?
解析：当a≠1时，Sn＝，
1－ab?1－an＋1?Sn＋1＝，
1－a
b?1－an?b?1－an＋1?
∴点(Sn，Sn＋1)为：(，)，
1－a1－a
显然此点在直线y＝ax＋b上．当a＝1时，显然也成立． 答案：A
35
4．已知函数f(x)满足f(x＋1)＝＋f(x)(x∈R)，且f(1)＝，则数
22列{f(n)}(n∈N*)前20项的和为( )
A．305 B．315 C．325 D．335 535
解析：因为f(1)＝，f(2)＝＋，
2223353
f(3)＝＋＋，?，f(n)＝＋f(n－1)，
222253
所以{f(n)}是以为首项，为公差的等差数列，
22520?20－1?3
所以S20＝20×＋×＝335.
222答案：D
5．等差数列{an}中，a1＞0，公差d＜0，Sn为其前n项和，对任意自然数n，若点(n，Sn)在以下4条曲线中的某一条上，则这条曲线应是( )
n?n－1?dd
解析：∵Sn＝na1＋d，∴Sn＝n2＋(a1－)n，又a1＞0，
222公差d＜0，所以点(n，Sn)所在抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧．
答案：C
6．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：
他们研究过图1中的1,3,6,10，?，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，?这样的数为正方形数，下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )
A．289 B．1 024 C．1 225 D．1 378
n?n＋1?
解析：根据图形的规律可知第n个三角形数为an＝，第
2n个正方形数为bn＝n2，由此可排除D(1 378不是平方数)．将A、B、C选项代入到三角形数表达式中检验可知，符合题意的是C选项．
答案：C
二、填空题(本大题共3个小题，每小题6分，共18分) 7．已知数列{an}满足：a4n－3＝1，a4n－1＝0，a2n＝an(n∈N*)，则a2009＝________，
a2014＝________.
解析：a2009＝a4×503－3＝1，a2014＝a1007＝a252×4－1＝0. 答案：1 0
8．等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4－a2＝8，a3＋a5＝26，Sn记Tn＝2，如果存在正整数M，使得对一切正整数n，Tn≤M都成
n立，则M的最小值是________．
解析：由a4－a2＝8，得2d＝8，∴d＝4. 又a3＋a5＝26，得a4＝13，∴a1＝1. n?n－1?
于是Sn＝n＋·4＝(2n－1)n，
21SnTn＝2＝2－n＜2.
n
要使M≥Tn恒成立，只需M≥2， ∴M的最小值是2. 答案：2
9．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝t·5________．
1解析：∵Sn＝t·5n－2－，
5t－1
∴a1＝S1＝，
5当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 t·5n1t·5n14t·5n＝－－(－)＝. 2551255125
an＋1
又∵{an}为等比数列，∴q＝a＝5，
n
n－2
1
－，则实数t的值为5
4t5a24t
∴＝5，即＝＝5，∴t＝5. a1t－1t－1
5答案：5
三、解答题(本大题共3个小题，共46分)
10．(本小题满分15分)已知数列{an}的首项a1＝1，且点An(an，a在函数y＝x
n＋1)x＋1
的图象上．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求证：弦AnAn＋1的斜率随n的增大而增大． 解：(1)∵aann＋1＝a1且a1＝1，
n＋∴1
a＝1＋1
n＋1an， ∴1a－1an
＝1， n＋1∴{1
an}是以1为首项，1为公差的等差数列．
∴1n
＝1＋(n－1)×1＝n，∴a1an＝n. (2)证明：∵a111
n＝n，an＋1＝n＋1，an＋2＝n＋2，
∴弦AnAn＋1的斜率
1ka－
1n＋2－an＋1n＋2n＋1nn＝a＝n＋1－an11＝n＋2. n＋1－n∴kn＋1n＋1－kn＝
n＋3－n
n＋2