所以当n＝1时，a1＝S1＝1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－3， 因为a1也满足上式，
所以数列{an}的通项公式为an＝4n－3(n∈N*)． 2n2－n
(2)由已知bn＝，
n＋p
因为{bn}是等差数列，可设bn＝an＋b(a、b为常数)， 2n2－n所以＝an＋b，于是2n2－n＝an2＋(ap＋b)n＋bp，
n＋pa＝2，??
所以?ap＋b＝－1，
??bp＝0.
1
因为p≠0，所以b＝0，p＝－. 2
2111
(3)cn＝＝(－)，
?4n－3??4n＋1?24n－34n＋1所以Tn＝c1＋c2＋?＋cn
111111＝(1－＋－＋?＋－) 25594n－34n＋111＝(1－)． 24n＋1
11m
由Tn<，得m>10(1－)．因为1－<1，
204n＋14n＋1所以m≥10.
所以，所求的最小正整数m的值为10.
5．设数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，已知4Sn＝a2n＋2an＋1(n∈N*)．
(1)证明{an}是等差数列，并求an；
112(2)设m、k、p∈N，m＋p＝2k，求证：S＋S≥S.
mpk
*
解：(1)∵4Sn＝a2n＋2an＋1， ∴4Sn－1＝a2n－1＋2an－1＋1(n≥2)．
2两式相减得4an＝a2n－an－1＋2an－2an－1.
整理得(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0. ∵an＋an－1≠0，∴an－an－1＝2(常数)， ∴{an}是以2为公差的等差数列．
2又4S1＝a21＋2a1＋1，即a1－2a1＋1＝0，解得a1＝1，
∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
n?1＋2n－1?(2)证明：由(1)知Sn＝＝n2，
2∴Sm＝m2，Sp＝p2，Sk＝k2.
22222
112112k?m＋p?－2mp由S＋S－S＝2＋2－2＝ mpkm2p2k2mpk
m＋p2
?·2mp－2m2p2
2mp·mp－2m2p22
≥≥＝0，
m2p2k2m2p2k2?
112
即S＋S≥S.
mpk
6．这是发生在德国的一个真实故事，一个9岁的孤儿德比为了寻找母亲，表达他对母亲的爱，他每帮助一个人，就请这位被帮助者再去帮助另外10个人，假设每个人都以这种方式将爱心传递下去，且被帮助的人不重复．总有一天自己的母亲也会成为被帮助的对象．如果德比每天帮助一个人，被帮助的人第二天去帮助另外10个人(假设被帮助的人第三天及以后不再帮助其他人)．而德国有8 220万人．
(1)设n天后，被帮助的总人数为Sn，试求出Sn； (2)最多第几天，德比的母亲成为被帮助的对象？
解：(1)根据条件，可知Sn＝Sn－1＋1＋10＋102＋?＋10n－1(n≥2且n∈N*)，
10n－1
∴Sn＝Sn－1＋，
910n－1－110n－1
∴Sn＝Sn－2＋＋ 99＝??
102－1103－110n－1
＝S1＋＋＋?＋
9991
＝(10＋102＋103＋?＋10n－n) 9
n＋1
110－10＝×(－n)． 99
经验证，当n＝1时，Sn也满足此通项．
n＋1
110－10
故Sn＝(－n)．
99
n＋1
110－10
(2)由Sn＝(－n)≤8 220×104＝8.22×107.
99
估计判断：考虑n＝8时，S8＝12 345 678<8 220×104， n＝9时，S9＝123 456 789>8 220×104.
所以，最多第9天，德比可以实现自己的愿望．