《大学物理》练习题及详细解答-—真空中的静电场
1. 电荷为?q和?2q的两个点电荷分别置于x?1m和x??1m处。一试验电荷置于x轴上何处，它受到的合力等于零？
解：根据两个点电荷对试验电荷的库仑力的大小及方向可以断定，只有试验电荷q0位于点电荷
?q的右侧，它受到的合力才可能为0，所以
2qq0qq0? 224π?0(x?1)4π?0(x?1)故x?3?22
2. 电量都是q的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点。试问：(1)在这三角形的中心放
一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系?
解：(1) 以A处点电荷为研究对象，由力平衡知，q?为负电荷，所以
1q212cos30??4π?0a24π?0故q???qq? 3(a)233q 3(2)与三角形边长无关。
3. 如图所示，半径为R、电荷线密度为?1的一个均匀带电圆环，在其轴线上放一长为l、电荷线密度为?2的均匀带电直线段，该线段的一端处于圆环中心处。求该直线段受到的电场力。 解：先求均匀带电圆环在其轴线上产生的场强。在带电圆环上取dq??1dl，dq在带电圆环轴线上x处产生的场强大小为
dq 224??0(x?R)根据电荷分布的对称性知，Ey?Ez?0
1xdqdEx?dEcos? ? 3224??0(x?R)2dE?式中：?为dq到场点的连线与x轴负向的夹角。
y R O ?1 ?2 l x Ex?x22324??0(x?R)?1?2?R?1Rxx ??3322224??0(x?R)22?0(x?R)2?dq
z
下面求直线段受到的电场力。在直线段上取dq??2dx，dq受到的电场力大小为
dF?Exdq??1?2Rxdx
2?0(x2?R2)32方向沿x轴正方向。
直线段受到的电场力大小为
F??dF??1?2Rlxdx 3?0222?0(x?R)2 1
??1?2R?1? 1?2?0?R?l2?R2?1/2???方向沿x轴正方向。
4. 一个半径为R的均匀带电半圆环，电荷线密度为?。求： （1）圆心处O点的场强；
（2）将此带电半圆环弯成一个整圆后，圆心处O点场强。 解：（1）在半圆环上取dq??dl??Rd?，它在O点产生场强大小为
dq??d?，方向沿半径向外 24π?0R4π?0R根据电荷分布的对称性知，Ey?0
dE??sin?d?
4π?0R???Ex??sin?d??
04π?0R2π?0R?故 E?Ex?，方向沿x轴正向。
2π?0RdEx?dEsin??（2）当将此带电半圆环弯成一个整圆后，由电荷分布的对称性可知，圆心处电场强度为零。 5．如图所示，真空中一长为L的均匀带电细直杆，总电量为q，试求在直杆延长线上距杆的一端距离为d的P点的电场强度。
解：建立图示坐标系。在均匀带电细直杆上取dq??dx?dE?故P点场强大小为
d?Ldq?dx，方向沿x轴负方向。 ?224??0x4??0x qdx，dq在P点产生的场强大小为 LEP??dE??d d q ?4??0d?d?L?方向沿x轴负方向。
6. 一半径为R的均匀带电半球面，其电荷面密度为?，求球心处电场强度的大小。
解：建立图示坐标系。将均匀带电半球面看成许多均匀带电细圆环，应用场强叠加原理求解。 在半球面上取宽度为dl的细圆环，其带电量dq???dS???2?rdl???2?R2sin?d?，dq在O点产生场强大小为（参见教材中均匀带电圆环轴线上的场强公式）
?dx4??0x2
q L x P O dE?xdq4??0(x2?r2)32x ，方向沿x轴负方向 利用几何关系，x?Rcos?，r?Rsin?统一积分变量，得
r dl ? O R 2
dE?xdq22324??0(x?r)1Rcos?2???2?Rsin?d? 34??0R?
?sin?cos?d? 2?0因为所有的细圆环在在O点产生的场强方向均沿为x轴负方向，所以球心处电场强度的大小为
??/2?E??dE? sin?cos?d???02?04?0方向沿
x轴负方向。
7. 一“无限大”平面，中部有一半径为R的圆孔，设平面上均匀带电，电荷面密度为?，如
图所示。试求通过小孔中心O并与平面垂直的直线上各点的场强。
解：应用补偿法和场强叠加原理求解。
若把半径为R的圆孔看作由等量的正、负电荷重叠而成，挖去圆孔的带电平面等效为一个完整的“无限大”带电平面和一个电荷面密度为?????的半径为R的带电圆盘，由场强叠加原理知，P点的场强等效于“无限大”带电平面和带电圆盘在该处产生的场强的矢量和。
“无限大”带电平面在P点产生的场强大小为
σ，方向沿x轴正方向 2?0半径为R、电荷面密度?????的圆盘在P点产生的场强大小为（参见教材中均匀带电圆盘轴线上
E1?的场强公式）
E2?x?(1?)，方向沿x轴负方向
222?0R?x R O ??x 故P点的场强大小为
E?E1?E2??x2?0R2?x2?P x
方向沿x轴正方向。
8. (1)点电荷q位于一边长为a的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体的一个面的电场强度通量；(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上，这时穿过立方体各面的电场强度通量是多少?
??q解：（1）由高斯定理?E?dS?求解。立方体六个面，当q在立方体中心时，每个面上电通
s?0量相等，所以通过各面电通量为
?e?q 6?0?q 6?0（2）电荷在顶点时，将立方体延伸为边长2a的立方体，使q处于边长2a的立方体中心，则通过边长2a的正方形各面的电通量?e对于边长a的正方形，如果它不包含q所在的顶点，则?e则?e?q，如果它包含q所在顶点，24?0?0。
9. 两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为和?2，试求空间各处场强。
?1?E1?E2 ?2
?13
解：如图所示，电荷面密度为?1的平面产生的场强大小为
E??1，方向垂直于该平面指向外侧 2?0?22?0，方向垂直于该平面指向外侧
电荷面密度为?2的平面产生的场强大小为
E?由场强叠加原理得
1(?1??2)，方向垂直于平面向右 2?01?1面左侧，E?E1?E2?(???2)，方向垂直于平面向左
2?011?2面右侧，E?E1?E2?(?1??2)，方向垂直于平面向右
2?010. 如图所示，一球壳体的内外半径分别为R1和R2，电荷均匀地分布在壳体内，电荷体密度为?（??0）。试求各区域的电场强度分布。
??1解：电场具有球对称分布，以r为半径作同心球面为高斯面。由高斯定理?E?dS??qi得
两面之间，E?E1?E2?S?0E?4?r2?1?0?qi
当r?R1时，?qi?0，所以
E?0
44?r?R2时，?qi??(?r3??R13)，所以
33?(r3?R13) E?3?0r24433当r?R2时，?qi??(?R2??R1)，所以
33?(R23?R13) E?3?0r2当R1
11. 有两个均匀带电的同心带电球面，半径分别为R1和R2（R2?R1），若大球面的面电荷密度为?，且大球面外的电场强度为零。求：（1）小球面上的面电荷密度；（2）大球面内各点的电场强度。
??1解:（1）电场具有球对称分布，以r为半径作同心球面为高斯面。由高斯定理?E?dS?S?0?qi得
E?4?r2?当r1?0?qi
?R2时，E?0，?qi???4?R22????4?R12?0，所以
R????（2)2?
R1（2）当r?R1时，?qi?0，所以
4
E?0
2当R1?r?R2时，?qi????4?R1??4??R22，所以
R?E??（2)2
r?0负号表示场强方向沿径向指向球心。
12. 一厚度为d的无限大的带电平板，平板内均匀带电，其体电荷密度为?，求板内外的场强。 解：电场分布具有面对称性，取同轴闭合圆柱面为高斯面，圆柱面与平板垂直，设两底面圆到
??1平板中心的距离均为x，底面圆的面积为?S。由高斯定理?E?dS?S??1E?dS?E??S?E??S?0??q ?S?0i当x??0?q得
id时（平板内部），?qi???2x??S，所以 2?xE?
?0当x?d（平板外部），?qi???d??S，所以 2?d E?2?013. 半径为R的无限长直圆柱体均匀带电，体电荷密度为?，求其场强分布。
解：电场分布具有轴对称性，取同轴闭合圆柱面为高斯面，圆柱面高为l，底面圆半径为r，
应用高斯定理求解。
??1E?dS?E?2πrl??qi ?S?0????r2l，所以
?r E?2?02(2)当r?R时，?qi????Rl，所以
(1)当r?R时，
i?q14.一半径为R的均匀带电圆盘，电荷面密度为?，设无穷远处为电势零点，求圆盘中心O点的电势。
解：取半径为r、dr的细圆环dq??dS???2?rdr，则dq在O点产生的电势为
?R2 E?2?0rdV?圆盘中心O点的电势为
dq4??0r??dr 2?0
V??dV??R015. 真空中两个半径都为R的共轴圆环，相距为l。两圆环均匀带电，电荷线密度分别是??和
??Rdr?2?02?0??。取两环的轴线为x轴，坐标原点O离两环中心的距离均为
l，如图所示。求x轴上任一点的2电势。设无穷远处为电势零点。
解：在右边带电圆环上取dq，它在x轴上任一点P产生的的电势为
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