?1?的所有奇点有：z?k(k?Z)，落在积分曲线内的点有：z?0，?1??sin?z??1??从而dz?2?i(Res[f(z),0]?Res[f(z),1]?Res[f(z),?1])??|z|?32sin?z????z1?z1??Res[f(z),0]?lim?lim???? z?0sin?zz?0?sin?z???z?1z?11?Res[f(z),1]?lim??lim??z?1sin?zz?1?sin?(z?1)?????z?11?Res[f(z),?1]?lim?????z??1?sin?(z?1)???z132．设f(z)?2，则f(z)在复平面上所有有限奇点处留数之和为 0 。 8(z?1)(z?1)1??13?11?111124816zf()??????(1?z?z??)(1?z?z??)??222811zzzz(1?z)(1?z)z??(2?1)(8?1)zz????11????Res[f(z),?]??Res[f()?2,0]??c?1?0??zz?
三、解答题
ez1．求函数f(z)?2在?的留数。
z?1ezf(z)?2在z平面上具有两个奇点z??，它们都是一阶极点1.z?1ezeResf[z()?,1]lim?；z?1z?12 z?1eeRes[f(z),?1]?lim??；z??1z?12e?e?1从而，Res[f(z),?]??{Res[f(z),1]?Res[f(z),?1]}??2
z2n2．计算积分?，C:|z|?r?1. ?C1?zndz（n为一正整数）
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z2nn在z平面上的奇点为方程z?1的根，则全落于积分曲线C内部.从而n1?zz2n??C1?zndz??2?iRes[f(z),?].z2n在z??处可展为：n1?zz2nz2n111n ???z(1????)nnn2n11?zz1?zznz当n?1时，c?1?1；当n?1时，c?1?0.?2?i，n?1z2n从而??C1?zndz???0，n?1
3．计算下列积分： （1）
?2?01d?
5?3sin??2?01d???z?15?3sin?1dz2dz??
z?z?1iz?z?13(z?i)(z?3i)5?3?32i被积函数
i3(z?)(z?3i)3i在|z|=1内只有一个奇点z??，且为一阶极点. 从而
3f(z)?2
i2?I?2?iRes[f(z),?]?2?ilim?.
i32z??3(z?3i)3 （2）
?2?0sin2?d?
5?4cos? 36
e2i??e?2i?z2?z?2cos2???22?2?02?sin2?d???05?4cos?z2?z?2z2?z?21?1?1?cos2?dzdz22d??????z?1z?z?1iz?z?1z?z?1iz2(5?4cos?)2(5?4?)2(5?4?)22z4?2z2?1???dzz?1128iz(z?)(z?2)2被积函数
z4?2z2?1f(z)?
18iz2(z?)(z?2)2在|z|=1内具有两个奇点z=0,z=-1/2，它们分别是二阶极点和一阶极点。
??42d?z?2z?1?Res[f(z),0]?lim??z?0dz1?8i(z?)(z?2)?2????3z?2z?1?4z?4z11?5?lim???4??i2z?011z?2?168i(z?)(z?2)?z?2z?1z?22??42
1z4?2z2?13Res[f(z),?]?lim1??i 22z??8iz(z?2)162从而原积分
z4?2z2?1153?iI???dz??2?i(Res[f(z),0]?Res[f(z),?])??2?i(i?i)?z?112161648iz2(z?)(z?2)2
??cos2xx2dx（3）? （4）???x2?9dx ??1?x4?? 37
z22222在上半平面内的奇点为z??i，??i.它们都是一阶极点.1?z4222222Res[f(z),?i]22z22(1?i) ?lim?;228222222z??i22(z??i)(z??i)(z??i)22222222Res[f(z),??i]22z22(1?i)?lim??228222222z???i22(z??i)(z??i)(z??i)222222从而x22222dx?2?i(Res[f(z),?i]?Res[f(z),??i]) ???1?x422222(1?i)2(1?i)2?2?i(?)??882??
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复变函数练习题 第五章 留数
系 专业 班 姓名 学号
综合练习
一、选择题
1．下列命题中，正确的是 [ ] （A）设f(z)?(z?z0)?m?(z), ?(z)在z0点解析, m为自然数，则z0为f(z)的m级极点。 （B）如果无穷远点?是函数f(z)的可去奇点，那么Res[f(z),?]?0 （C）若z?0为偶函数f(z)的一个孤立奇点，则Res[f(z),0]?0 （D）若
??Cf(z)dz?0，则f(z)在C内无奇点
??A:?(z0)?0;??B:f(z)?c0?c?1?2??1z?c?2z??;???C:f(z)?c0?c1z?c2z2??????c?1z?2???1z?c?2???f(?z)?c2? ?0?c1z?c2z?????c?1z?1?c?2z?2?????由洛朗展式的唯一性，cc??1???1，从而c?1=0??D:不一定??2．Res[z3cos2iz,?]? （A）?23 （B）2223 （C）3i （D）?3i
??zcos2i?z3(1?1??z2!?2i?2?z???1?4!?2i?43??z????)???4?? ?c?2i?22?1?4!?3，从而Res[f(z),?]??c?1??3??3．积分??|z|?1z2sin1zdz? （A）0 （B）?16 （C）??3i （D）??i
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