3?2?1111??2?zsin?z(?????)?zz3!?z???
??11?c?1?????3!6??二、填空题： 1．设f(z)?2z，则Res[f(z),?]? -2 。 1?z22z1??f(z)?在?点的洛朗展式为：（切记！此时?1）??1?z2z??2z121?2z?????(1???)2?1?z2z2? 1zz1?2??z???c?1?2???12．积分??|z|?1sinzdz? 2?i 。
1z??dz?2?iRes[f(z),0)?2?ilim?2?i??? ?|z|?1sinzz?0sinz??三、解答题
1．求出下列函数f(z)在有限孤立奇点处的留数：
（1）f(z)?1 35z?zf(z)?11?具有一个三阶极点z?0，两个一阶极点z?1,z??1z3?z5z3(1?z)(1?z)f(z)在z?0点的洛朗展式为：111??(1?z2??)35323z?zz(1?z)z从而Res[f(z),0]?c?1?1;11??;3z?1z(1?z)211Res[f(z),?1]?lim3??z?1z(1?z)2Res[f(z),1]?lim?
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ez（2）f(z)?22
z(z?9)ezezf(z)?22?2在z平面上具有一个二阶极点z?0，z(z?9)z(z?3i)(z?3i)两个一阶极点z=?3.if(z)在z?0处的洛朗展式为：ez=z2(z2?9)ezz29z(1+)921z2112=2(1?z?z??)(1???)?2???9z99z9z1从而Res[f(z),0]?c?1?;9eze3iRes[f(z),3i]?lim2?i;z?1z(z?3i)54eze?3iRes[f(z),?3i]?lim2??iz?1z(z?3i)54
2．计算下列各积分（C为正向圆周）
z31（1）??C1?zezdz,C:|z|?2
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z31被积函数f(z)?ez在z平面上只有两个奇点z?0和z??1，1?z它们都落在C:|z|?2内部。z3111z从而?edz??2?iRes[f(z),?]?2?iRes[f()?2,0]?C1?zzz13111ez1z2z3zzf()?2?e?2?4?4(1?z????)(1?z?z2?z3??) 1zzzz(1?z)z2!3!1?z111c?1??1?1????，263则z31112?izedz?2?iRes[f()?,0]???C1?z?zz23z13 （2）??C(z2?2)3(z2?1)4dz.C:|z|?2
z13被积函数f(z)?2在z平面上只有四个奇点z??2i和z??1，(z?2)3(z2?1)4它们都落在C:|z|?2内部。z3111z从而?edz??2?iRes[f(z),?]?2?iRes[f()?2,0]?C1?zzz1131111 zf()?2??2?以z?0为一阶极点，从而23241zzz(1?2z)(1?z)314z(2?2)(2?1)zz111Res[f()?2,0]?lim?1z?0(1?2z2)3(1?z2)4zzz31ze??C1?zdz?2?i
3．利用留数定理计算下列积分： （1）
??0d? 21?sin? 42
2?d?1?d?d?1dz?????01?sin2?2???1?cos2??03?cos2??z?1z2?z?2iz1?3?222izdz??z?1(z2?3?22)(z?2?1)(z?2?1)?被积函数在z?1内部只有两个奇点z??(2?1).z?lim2iz2??i;2?1(z2?3?22)(z?82?1)2iz2??i2?1(z2?3?22)(z?2?1)8
z??lim从而?
?0d?2?2?i(Res[f(z),2?1]?Res[f(z),?2?1])??.21?sin?2（2）
?????x2?x?2dx 42x?10x?9z2?z?2z2?z?2f(z)?4=在上半平面内的奇点有z?3i和z?i.z?10z2?9(z2?9)(z2?1)z2?z?21lim2??(1?i);z?i(z?9)(z?i)16z2?z?21lim?(3?7i)z?3i(z?3i)(z2?1)48从而原积分等于115?2?i[?(1?i)?(3?7i)]?.164824
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