2018年河南省开封市高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）设U=R，已知集合A={x|x≥1}，B={x|x＞a}，且（?UA）∪B=R，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞）
2．（5分）若复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z1=1﹣2i，则复数
在复平面内对应的点在（ ）
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
A．第一象限
3．（5分）已知向量=（m﹣1，1），=（m，﹣2），则“m=2”是“⊥”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 4．（5分）若A．
B．
C．
D．
D．既不充分也不必要条件
，则sin2α的值为（ ）
5．（5分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且9S3=S6，a2=1，则a1=（ ） A． B．
C．
D．2 ﹣
=1（a＞0，b＞0）为等轴双曲线，且焦点到渐近线
6．（5分）已知曲线的距离为A．
，则该双曲线的方程为（ ） B．x2﹣y2=1 C．
D．x2﹣y2=2
7．（5分）我国古代名著《庄子?天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（ ）
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A．C．
D．
B．
8．（5分）如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球O1、O2，这两个球相外切，且球O1与正方体共顶点A的三个面相切，球O2与正方体共顶点B1的三个面相切，则两球在正方体的面AA1C1C上的正投影是（ ）
A． B． C． D．
9．（5分）如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个2×2×3 的长方体框架，一个建筑工人欲从 A处沿脚手架攀登至 B处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（ ）
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A． B． C． D． 10．（5分）函数y=
的图象大致是（ ）
A． B． C．
D．
11．（5分）抛物线M：y2=4x的准线与x轴交于点A，点F为焦点，若抛物线M上一点P满足PA⊥PF，则以F为圆心且过点P的圆被y轴所截得的弦长约为（参考数据：A．
≈2.24）（ ） B．
C．
D．
12．（5分）已知函数，若函数F（x）=f（x）
﹣3的所有零点依次记为x1，x2，x3，…，xn，且x1＜x2＜x3＜…＜xn，则x1+2x2+2x3+…+2xn﹣1+xn=（ ） A．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于 ．
B．445π
C．455π
D．
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14．（5分）设x，y满足约束条件，且x，y∈Z，则z=3x+5y的最大
值为 ． 15．（5分）设f（x）=的值有 个．
16．（5分）一个棱长为5的正四面体（棱长都相等的三棱锥）纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体在纸盒内可以任意转动，则小正四面体的棱长的最大值为 ．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且2cosB（acosC+ccosA）+b=0．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若a=3，点D在AC边上且BD⊥AC，BD=
，求c．
，且f（f（a））=2，则满足条件的a
18．（12分）如图1，在矩形ABCD中，AD=2AB=4，E是AD的中点．将△ABE沿BE折起使A到点P的位置，平面PEB⊥平面BCDE，如图2． （Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PEC； （Ⅱ）求二面角B﹣PE﹣D的余弦值．
19．（12分）近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇，2017年双11期间，某购物平台的销售业绩高达1271亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商
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品和服务都做出好评的交易为80次．
（Ⅰ）完成下面的 2×2列联表，并回答是否有99%的把握，认为商品好评与服务好评有关？
对服务好评 对服务不满意 合计 对商品好评 对商品不满意 合计 200 （Ⅱ）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X：
（1）求对商品和服务全好评的次数X的分布列； （2）求X的数学期望和方差． 附：
P（K2≥k） 0.15 k （
20．（12分）给定椭圆C：
+0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 ，其中n=a+b+c+d）
=1（a＞b＞0），称圆心在原点O，半径为
，其“准圆”的方程为x2+y2=4．
的圆是椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的离心率（I）求椭圆C的方程；
（II）点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l1，l2交“准圆”于点M，N．
（1）当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求直线l1，l2的方程，并证明l1⊥l2；
（2）求证：线段MN的长为定值．
21．（12分）已知函数f（x）=（t﹣1）xex，g（x）=tx+1﹣ex． （Ⅰ）当t≠1时，讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立，求t的取值范围．
选修4-4：极坐标与参数方程
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