求轨迹方程的常用方法
（一）求轨迹方程的一般方法：
1. 待定系数法：如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。
2. 直译法：如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P运动的某个几何量t，以此量作为参变数，分别建立P点坐标x，y与该参数t的函数关系x＝f（t），y＝g（t），进而通过消参化为轨迹的普通方程F（x，y）＝0。 4. 代入法（相关点法）：如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P（x，y），用（x，y）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。
5.几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。
6：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这灯问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。 （二）求轨迹方程的注意事项：
1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P的运动规律，即P点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。
?x?f(t) 2.轨迹方程既可用普通方程F(x，y)?0表示，又可用参数方程(t为参数) ??y?g(t)来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。 3. 求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解，（即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上），又要检验是否丢解。（即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示），出现增解则要舍去，出现丢解，则需补充。检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形。
4．求轨迹方程还有整体法等其他方法。在此不一一缀述。
课前热身：
x2y21. P是椭圆=1上的动点，过P作椭圆长轴的垂线，垂足为M，则PM中点的轨迹?95中点的轨迹方程为：
（ ）
x2y242y2x242x2y2?1 B、?y?1 C、??1 D、? A、x?=1
9595920365【答案】：B
x242【解答】:令中点坐标为(x,y),则点P 的坐标为(x,2y)代入椭圆方程得?y?1,选B
952. 圆心在抛物线y2?2x(y?0)上，并且与抛物线的准线及x轴都相切的圆的方程是（ ）
A x?y?x?2y?221?0 4
B x2?y2?x?2y?1?0 D x?y?x?2y?22C x2?y2?x?2y?1?0 【答案】：D
1?0 4a2a21,a),则由题意可得a??,解得a?1,则圆的方程为【解答】:令圆心坐标为(222x2?y2?x?2y?1?0,选D 43: 一动圆与圆O：x2?y2?1外切，而与圆C：x2?y2?6x?8?0内切，那么动圆的圆心M的轨迹是：
A：抛物线B：圆 C：椭圆 D：双曲线一支 【答案】：D
【解答】令动圆半径为R，则有?
4: 点P(x0，y0)在圆x2+y2=1上运动，则点M（2x0，y0）的轨迹是 （ ） A.焦点在x轴上的椭圆 B. 焦点在y轴上的椭圆 C. 焦点在y轴上的双曲线 D. 焦点在X轴上的双曲线 【答案】：A
?|MO|?R?1，则|MO|-|MC|=2，满足双曲线定义。故选D。
?|MC|?R?1x??x?2x0x2?x0??y2?1,选A 【解答】:令M的坐标为(x,y),则???2代入圆的方程中得4?y?y0?y?y?0【互动平台】
名师点题一：用定义法求曲线轨迹
求曲线轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一，求符合某种条件的动点轨迹方
程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过坐标互化将其转化为寻求变量之间的关系，在求与圆锥曲线有关的轨迹问题时，要特别注意圆锥曲线的定义在求轨迹中的作用，只要动点满足已知曲线定义时，通过待定系数法就可以直接得出方程。
例1：已知?ABC的顶点A，B的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足
5sinB?sinA?sinC,求点C的轨迹。
4【解析】由sinB?sinA?55sinC,可知b?a?c?10，即|AC|?|BC|?10，满足椭圆44x2y2??1的定义。令椭圆方程为2?2?1，则a?5,c?4?b?3，则轨迹方程为
''259abx2y2'''（x??5)，图形为椭圆（不含左，右顶点）。
【点评】熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键。
（1）
（2） （3） （4）
圆：到定点的距离等于定长
椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离）
双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离） 到定点与定直线距离相等。
【变式1】: 1:已知圆的圆心为M1，圆一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程。 解：设动圆的半径为R，由两圆外切的条件可得：
。
，
的圆心为M2，
。
∴动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支，c=4，a=2，b2=12。
故所求轨迹方程为
2:一动圆与圆O：x2?y2?1外切，而与圆C：x2?y2?6x?8?0内切，那么动圆的圆心
M的轨迹是：
A：抛物线B：圆 C：椭圆 D：双曲线一支
【解答】令动圆半径为R，则有??|MO|?R?1，则|MO|-|MC|=2，满足双曲线定义。故选D。
?|MC|?R?1二：用直译法求曲线轨迹方程 此类问题重在寻找数量关系。
例2： 一条线段AB的长等于2a,两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求AB中点P的轨迹方程？
解 设M点的坐标为(x,y) 由平几的中线定理：在直角三角形AOB中，OM=
11AB??2a?a, 22?x2?y2?a,x2?y2?a2
M点的轨迹是以O为圆心，a为半径的圆周.
【点评】此题中找到了OM=
1AB这一等量关系是此题成功的关键所在。一般直译法有下2列几种情况：
1）代入题设中的已知等量关系：若动点的规律由题设中的已知等量关系明显给出，则采用直接将数量关系代数化的方法求其轨迹。
2）列出符合题设条件的等式：有时题中无坐标系，需选定适当位置的坐标系，再根据题设条件列出等式，得出其轨迹方程。
3）运用有关公式：有时要运用符合题设的有关公式，使其公式中含有动点坐标，并作相应的恒等变换即得其轨迹方程。
4）借助平几中的有关定理和性质：有时动点规律的数量关系不明显，这时可借助平面几何中的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等，从而分析出其数量的关系，这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法.
【变式2】: 动点P（x,y）到两定点A（－3，0）和B（3，0）的距离的比等于2（即求动点P的轨迹方程？
22【解答】∵|PA|=(x?3)?y,|PB|?|PA|，?2）
|PB|(x?3)2?y2
(x?3)2?y2|PA|?2?(x?3)2?y2?4(x?3)2?4y2 代入?2得
|PB|(x?3)2?y2化简得（x－5）2+y2=16，轨迹是以（5，0）为圆心，4为半径的圆.
三：用参数法求曲线轨迹方程
此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。注意参数的
取值范围。
例3．过点P（2，4）作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程。
【解析】
分析1：从运动的角度观察发现，点M的运动是由直线l1引发的，可设出l1的斜率k作为参数，建立动点M坐标（x，y）满足的参数方程。
解法1：设M（x，y），设直线l1的方程为y－4＝k（x－2），（k≠０） 由l1?l2，则直线l2的方程为y?4??1(x?2) k4，0)， k24?)， l2与y轴交点B的坐标为(0，k ?l1与x轴交点A的坐标为(2? ∵M为AB的中点，
4?2??k?1?2x???2k ??(k为参数)
2?4??k?2?1y??2k? 消去k，得x＋2y－5＝0。
另外，当k＝0时，AB中点为M（1，2），满足上述轨迹方程； 当k不存在时，AB中点为M（1，2），也满足上述轨迹方程。 综上所述，M的轨迹方程为x＋2y－5＝0。
分析2：解法1中在利用k1k2＝－1时，需注意k1、k2是否存在，故而分情形讨论，能否避开讨论呢？只需利用△PAB为直角三角形的几何特性： |MP|?1|AB| 2 解法2：设M（x，y），连结MP，则A（2x，0），B（0，2y）， ∵l1⊥l2，∴△PAB为直角三角形 由直角三角形的性质，|MP|? ?(x?2)?(y?4)?221|AB| 21·(2x)2?(2y)2 2化简，得x＋2y－5＝0，此即M的轨迹方程。 分析3：：设M（x，y），由已知l1⊥l2，联想到两直线垂直的充要条件：k1k2＝－1，即可列出轨迹方程，关键是如何用M点坐标表示A、B两点坐标。事实上，由M为AB的中点，易找出它们的坐标之间的联系。
解法3：设M（x，y），∵M为AB中点，∴A（2x，0），B（0，2y）。 又l1，l2过点P（2，4），且l1⊥l2 ∴PA⊥PB，从而kPA·kPB＝－1，
4?04?2y，kPB? 2?2x2?044?2y·??1，化简，得x?2y?5?0 ?2?2x2 而kPA? 注意到l1⊥x轴时，l2⊥y轴，此时A（2，0），B（0，4） 中点M（1，2），经检验，它也满足方程x＋2y－5＝0 综上可知，点M的轨迹方程为x＋2y－5＝0。
【点评】
1）解法1用了参数法，消参时应注意取值范围。解法2，3为直译法，运用了kPA·kPB
1＝－1，|MP|?|AB|这些等量关系。。
2用参数法求解时，一般参数可选用具有某种物理或几何意义的量，如时间，速度，距离，角度，有向线段的数量，直线的斜率，点的横，纵坐标等。也可以没有具体的意义，选定参变量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响 【变式3】过圆O：x2 +y2= 4 外一点A（4，0），作圆的割线，求割线被圆截得的弦BC的中点M的轨迹。