解法一：“几何法”
设点M的坐标为（x,y）,因为点M 是弦BC的中点，所以OM⊥BC,
２２ ２
所以|OM | ＋|ＭＡ|＝|ＯＡ| ， 即(x2 +y2)+(x －４)2 +y2 =16 化简得：（x－2）2+ y2 =4................................①
由方程 ① 与方程x2 +y2= 4得两圆的交点的横坐标为1，所以点M的轨迹方程为 （x－2）2+ y2 =4 （0≤x＜1）。所以M的轨迹是以（2，0）为圆心， 2为半径的圆在圆O内的部分。
解法二：“参数法”
设点M的坐标为（x,y），B（x1,y1）,C（x2,y2）直线AB的方程为y=k(x－4), 由直线与圆的方程得（1+k2）x2 －8k2x +16k2－4=0...........(*),
x1?x24k2?由点M为BC的中点，所以x=...............(1) , 又OM⊥BC，所以221?kk=
y.................(2)由方程（1）（2） x1,所以x＜1. 3消去k得（x－2）2+ y2 =4,又由方程（*）的△≥0得k2 ≤
所以点M的轨迹方程为（x－2）2+ y2 =4 （0≤x＜1）所以M的轨迹是以（2，0）为圆心， 2为半径的圆在圆O内的部分。
四：用代入法等其它方法求轨迹方程
x2y20)为定点，求线段AB的中点M的 例4. 点B是椭圆2?2?1上的动点，A(2a，ab轨迹方程。
分析：题中涉及了三个点A、B、M，其中A为定点，而B、M为动点，且点B的运动是有规律的，显然M的运动是由B的运动而引发的，可见M、B为相关点，故采用相关点法求动点M的轨迹方程。
【解析】设动点M的坐标为（x，y），而设B点坐标为（x0，y0） 则由M为线段AB中点，可得
?x0?2a?x??x0?2x?2a?2? ???y0?2y?y0?0?y??2 即点B坐标可表为（2x－2a，2y）
x2y2 又?点B(x0，y0)在椭圆2?2?1上
abxy ?02?02?1ab22(2x?2a)2(2y)2从而有?2?1， 2ab4(x?a)24y2?2?1 整理，得动点M的轨迹方程为2ab【点评】代入法的关键在于找到动点和其相关点坐标间的等量关系
【变式4】如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满
足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程
yBQRAoPx
【解析】： 设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在Rt△ABP中，|AR|=|PR| 又因为R是弦AB的中点，依垂径定理 在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(x2+y2)
又|AR|=|PR|=(x?4)2?y2
所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0
因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动
设Q(x,y)，R(x1,y1)，因为R是PQ的中点，所以x1=代入方程x2+y2－4x－10=0,得
x?4y?0, ,y1?22(x?42yx?4－10=0 )?()2?4?222整理得 x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程
【备选题】
已知双曲线x?y?2的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的动直线与双曲线相交于A，B两点．
22?????????????????O为坐标原点）（I）若动点M满足FM，求点M的轨迹方程； ?F1A?F1B?FO11（其中????????（II）在x轴上是否存在定点C，使CA·CB为常数？若存在，求出点C的坐标；若不存在，
请说明理由．
解：由条件知F1(?2，0)，F2(2，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
?????????解法一：（I）设M(x，y)，则则FM?(x?2，y)，F1A?(x1?2，y1)， 1?????????????????????????F1B?(x2?2，y2)，FO?(2，0)，由FM?F1A?F1B?FO111得
?x?2?x1?x2?6，?x1?x2?x?4，即? ??y1?y2?y?y?y1?y2于是AB的中点坐标为??x?4y?，?． 22??yy?y2yy2(x1?x2)． 当AB不与x轴垂直时，1，即y1?y2???x?4x?8x1?x2?2x?82222又因为A，B两点在双曲线上，所以x1?y12?2，x2?y2?2，两式相减得
(x1?x2)(x1?x2)?(y1?y2)(y1?y2)，即(x1?x2)(x?4)?(y1?y2)y．
将y1?y2?y(x1?x2)代入上式，化简得(x?6)2?y2?4． x?8当AB与x轴垂直时，x1?x2?2，求得M(8，0)，也满足上述方程． 所以点M的轨迹方程是(x?6)2?y2?4．
（II）假设在x轴上存在定点C(m，0)，使CA.CB为常数．
当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是y?k(x?2)(k??1)． 代入x?y?2有(1?k)x?4kx?(4k?2)?0．
2222224k24k2?2则x1，x2是上述方程的两个实根，所以x1?x2?2，x1x2?2，
k?1k?1于是CA.CB?(x1?m)(x2?m)?k2(x1?2)(x2?2)
?(k2?1)x1x2?(2k2?m)(x1?x2)?4k2?m2 (k2?1)(4k2?2)4k2(2k2?m)???4k2?m2 22k?1k?12(1?2m)k2?24?4m2??m?2(1?2m)??m2． 22k?1k?1因为CA.CB是与k无关的常数，所以4?4m?0，即m?1，此时CA.CB=?1． 当AB与x轴垂直时，点A，B的坐标可分别设为(2，2)，(2，?2)， 此时CA.CB?(1,2).(1,?2)??1．
故在x轴上存在定点C(1，0)，使CA.CB为常数． 解法二：（I）同解法一的（I）有??x1?x2?x?4，
y?y?y?12当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是y?k(x?2)(k??1)． 代入x2?y2?2有(1?k2)x2?4k2x?(4k2?2)?0．
4k2则x1，x2是上述方程的两个实根，所以x1?x2?2．
k?1?4k2?4k． y1?y2?k(x1?x2?4)?k??4??2k?1k?1??4k2由①②③得x?4?2．???????????????????④
k?1y?4k．??????????????????????????⑤ k2?1当k?0时，y?0，由④⑤得，
x?4?k，将其代入⑤有 yx?44y(x?4)y22y??．整理得(x?6)?y?4． 222(x?4)(x?4)?y?1y24?当k?0时，点M的坐标为(4，0)，满足上述方程．
当AB与x轴垂直时，x1?x2?2，求得M(8，0)，也满足上述方程． 故点M的轨迹方程是(x?6)?y?4．
（II）假设在x轴上存在定点点C(m，0)，使CA.CB为常数，
224k24k2?2当AB不与x轴垂直时，由（I）有x1?x2?2?1，x1x2?2．
kk?1以上同解法一的（II）．
【误区警示】
1.错误诊断
【例题5】?ABC中，B，C 坐标分别为（-3，0），（3，0），且三角形周长为16，求点A的轨迹方程。
x2y2【常见错误】由题意可知，|AB|+|AC|=10，满足椭圆的定义。令椭圆方程为2?2?1，
abx2y2??1 则由定义可知a?5,c?3，则b?4，得轨迹方程为
2516【错因剖析】ABC为三角形，故A，B，C不能三点共线。
【正确解答】ABC为三角形，故A，B，C不能三点共线。轨迹方程里应除去点(5,0).(?5,0)，
x2y2??1(x??5) 即轨迹方程为
25162.误区警示
1：在求轨迹方程中易出错的是对轨迹纯粹性及完备性的忽略，因此，在求出曲线方程的方程之后，应仔细检查有无“不法分子”掺杂其中，将其剔除；另一方面，又要注意有无“漏网之鱼”仍逍遥法外，要将其“捉拿归案”。
2：求轨迹时方法选择尤为重要，首先应注意定义法，几何法，直接法等方法的选择。
3：求出轨迹后，一般画出所求轨迹，这样更易于检查是否有不合题意的部分或漏掉的部分。
【课外作业】
【基础训练】
221:已知两点M(1,),N(?4,?)给出下列曲线方程：①4x?2y?1?0；②x?y?3；③
5454x2x22?y?1；?y2?1，④在曲线上存在点P满足|MP|?|NP|的所有曲线方程是（ ） 22A ①③ 【答案】:D
B ②④
C ①②③ D ②③④
【解答】: 要使得曲线上存在点P满足|MP|?|NP|,即要使得曲线与MN的中垂线y??2x?3有交点.把直线方程分别与四个曲线方程联立求解,只有①无解,则选D
2.两条直线x?my?1?0与mx?y?1?0的交点的轨迹方程是 . 【解答】:直接消去参数m即得(交轨法):x?y?x?y?0
3:已知圆的方程为(x-1)2+y2=1,过原点O作圆的弦0A，则弦的中点M的轨迹方程是 .
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