pp?vt水，湖水污染质量分数满足关系式：g(t)??[g(0)?]?e （p?0），其中g(0)是湖水污染的初始
rr质量分数.
（Ⅰ）当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的初始质量分数；
（Ⅱ）求证：当g(0)?rp时，湖泊的污染程度将越来越严重； r（Ⅲ）如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要经过多少天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%？
点拨：本题结合实际生活中湖泊水质的问题，得到湖水污染指数的函数关系式，通过分析函数的特征，得到污染质量分数的情况.
解析：（Ⅰ）∵g(t)为常数， 有g(0)?pp?0， ∴g(0)? rrrrp?vt1p?vt2(Ⅱ) 我们易证得0?t1?t2， 则g(t1)?g(t2)?[g(0)?]?e?[g(0)?]?e
rrp?[g(0)?]?[err?t1vr?t2v?ep]?[g(0)?]?[errrr?t1v?er?t2v](ert2v?er?t1v)er(t1?t2)v
t2?t1pvv∵g(0)??0，t1?t2，e?e， ∴g(t1)?g(t2).
r
故湖水污染质量分数随时间变化而增加，污染越来越严重. (Ⅲ)污染停止即p?0，g(t)?g(0)?er?tv，设经过t天能使湖水污染下降到初始污染水平5%，即
g(t)?5%?g(0)
r?tv1v?e，∴t?ln20， ∴20r故需要ln20天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%.
易错点：审题不清，未能理解湖水污染指数的函数关系式中各个参数之间的关系，对于较为复杂解析
式没能找到影响函数单调性的参数.
变式与引申
1.设D和D1是两个平面区域,且D1?D.在区域D内任取一点M，记“点M落在区域D1内”为事件
D1的面积
A，则事件A发生的概率P(A)=. D的面积
已知有序实数对(a,b)满足a∈[0,3],b∈[0,2],则关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0有实根的概率是 .
vr
题型二 构建二次函数模式的问题
【例2】一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时，交通灯由红变绿，汽车以1米 / 秒2的加速度匀加速开走，那么（ ）
A．人可在7米内追上汽车 B．人可在10米内追上汽车
6
C．人追不上汽车,其间距离最近为5米 D．人追不上汽车,其间距离最近为7米
点拨：本题是一道加速行程问题, 需要运用物理现象建立数学模型，即汽车行程+25=人的行程，建立二次函数关系式．
解析：若经t秒人刚好追上汽车，则S+25=6 t ，由S=
12t，得 212t?6t?25?0?t2?12t?50?0. 21212考虑距离差 d??S?25??6t?t?6t?25?(t?6)?7,
22故当t = 6时,d 有最小值7 , 即人与汽车最少相距7米, 故选D．
易错点：理解物理运动情境时出现了偏差，未能得到正确的二次函数关系式. 变式与引申
2.五位同学围成一圈依序循环报数,规定:
①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；
②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次
已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为 易错点：在归纳报数过程中出现的失误，这就要求同学将整个报数过程写出来. 题型三 构建对勾函数模式的问题
【例3】某工厂拟建一座平面图（如图9-3所示）为矩形且面积为200m的三级污水处理池，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元（池壁厚度忽略不计，且池无盖）.
(Ⅰ)写出总造价y（元）与污水处理池长x (m)的函数关系式f(x)；
(Ⅱ)若由于地形限制，长、宽都不能超过16m，求f(x)的定义域；
图9-2-1
(Ⅲ)在条件(Ⅱ)下，污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价.
点拨：本题给出一个实际问题的情景，如何设计污水处理池，使得造价最低.首先需要根据题意建立造价关于设计方案的函数模型，再根据条件求出函数的定义域，在求解函数的最值方面常见的方法是分析函数在定义域上的单调性，进而求最值.
解析：(Ⅰ)因污水处理水池的长为xm，则宽为总造价为：y?400(2x?2? 2200m， x200200324)?248??2?80?200?800(x?)?16000 xxx?0?x?16?(Ⅱ)由题设条件?，解得12.5?x?16，即函数定义域为[12.5,16] 2000??16?x?
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(Ⅲ)先研究函数y?f(x)?800(x?324)?16000在[12.5,16]上的单调性， x对于任意的x1,x2?[12.5,16]，不妨设x1?x2, 则f(x2)?f(x1)?800[(x2?x1)?324(11324?)]?800?(x2?x1)(1?) x2x1x1x2?12.5?x1?x2?16，?0?x1?x2?162?324，?324324?1，即??1 x1x2x1x2又?x2?x1?0，?f(x2)?f(x1)?0，即f(x2)?f(x1)
故函数y?f(x)在[12.5,16]上是减函数，∴当x?16时，y取得最小值， 此时ymin?800(16?200200324??12.5(m) )?16000?45000,x1616
综上，当污水处理池的长为16m，宽为12.5m时，总造价最低，最低为45000元
易错点：建立函数模型后为考虑函数定义域，对对勾函数的单调性不熟悉.
【注】 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数.所谓的对勾函数，是形如f?x??ax?b的函x数，是一种教材上没有但考试老喜欢考的函数，所以更加要注意和学习.
我们发现学习过的均值不等式实际就是对勾函数的参数a，b同号时的特例，等号成立时能取到最值；当不能取到等号时就要用对勾函数的单调性来求函数的最值. 若a，b异号：
（1）a＞0，b＜0时，在定义域内是增函数，递增区间为（-∞，0）和（0，+∞）, （2）a＜0，b＞0时，在定义域内是减函数，递减区间为（-∞，0）和（0，+∞）.
通过研究我们可以知道高中阶段的对勾函数的参数主要是a，b同号，求最值的应用，所以我们要熟悉对勾函数的图像、性质和单调性.
本题考查的是学生对于对勾函数单调性的理解，y?x?a在区间(0,a)上单调递减，在区间x(a,??)上单调递增，在x?a上取得极小值，这一函数性质在不等式和导数中均有重要应用.学生可
思考若不限制函数的定义域，此题的最优造价方案又将如何.
变式与引申
3.要建一间地面面积为20m，墙高为3m的长方形储藏室，在四面墙中有一面安装一扇门（门的面积和墙面的面积按一定的比例设计）.已知含门一面的平均造价为300元/m，其余三面的造价为200元
2/m2，屋顶的造价为250元/m.问怎样设计储藏室地面矩形的长与宽，能使总价最低，最低造价是多少？
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本节主要考查：近年高考应用题的背景始终以“贴近生活、背景公平、控制难度”为命题原则.随着学习能力、理性思维能力、创新意识逐步纳入高考考查的轨道，关心社会热点的结合新增内容的新颖的原创应用试题会大量出现.
点评：所谓应用意识就是能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、
生产、生活中简单的数学问题；能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型；应用相关的数学方法解决问题并加以验证，并能用数学语言
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正确地表达和说明.应用的主要过程是依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，将现实问题转化为数学问题，构造数学模型，并加以解决.
情境创新问题，题型新颖，形式多样，融综合性、应用性、开放性、创新性于一体．要求认真理解题意，透过“现象”把握问题的本质，并将它抽象成数学(如函数、数列、概率、不等式、三角等)问题，运用相应的数学知识求解．
习题9－2
1．设V是已知平面M上所有向量的集合.对于映射f:V?V,a?V,记a的象为f(a).若映射f:V?V满足:对所有a,b?V及任意的实数?,?都有f(?a??b)??f(a)??f(b),则f称为平面M上的线性变换,现有下列命题:
①设f为平面M上的线性变换,则f(0)?0;
②对a?V,设f(a)?2a,则f为平面M上的线性变换;
③若e是平面M上的单位向量,对a?V,设f(a)?a?e,则f为平面M上的线性变换;
④设f是平面M上的线性变换,a,b?V,若a,b共线,则f(a),f(b)也共线. 其中正确的命题序号是: .(把你认为正确的命题的序号都填上) 2．（2011年高考全国新课标卷·文）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每产品的质量指标值，得到时下面试验结果：
A配方的频数分布表 指标值分组 频数 指标值分组 频数 [90，94） 8 [90，94） 4 [94，98） 20 [94，98） 12 [98，102） 42 B配方的频数分布表 [98，102） 42 [102，106） 32 [106，110] 10 [102，106） 22 [106，110] 8 （I）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率； ??2,t?94?（II）已知用B配方生产的一种产品利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为：y??2,94?t?102
?4,t?102?估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润．
3．如图9-2-2，某新建小区有一片边长为1(单位：百米)的正方形剩余地块ABCD，中间部分MNK是一片
221(≤x≤)的图像，另外的边缘是平行于正方形两边的直
39x3线段．为了美化该地块，计划修一条穿越该地块的直路l（宽度不计），直路l与曲线段MN相切（切点
池塘，池塘的边缘曲线段MN为函数y?记为P），并把该地块分为两部分．记点P到边AD距离为t，f(t)表示该地块在直路 l 左下部分的面
y D 积． C （1）求f(t)的解析式； （2）求面积S?f(t)的最大值．
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M K N (A) O 图9-2-2
B x 4．某人玩硬币走跳棋的游戏，已知硬币出现正、反面的概率都是
1．棋盘上标有第0站、第1站、第22站、??、第100站．一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋子向前跳一站；若掷出反面，则棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站(胜利大本营)或第100站(失败大本营)时，该游戏结束．设棋子跳到第n站的概率为Pn； (Ⅰ)求Pn?1??0，P1，P2；(Ⅱ)求证:Pn?P1(Pn?1?Pn?2)；(Ⅲ)求玩该游戏获胜的概率． 2第三节 研究性问题的创新试题
研究性学习作为一种适应新形势需要的学习方法，其核心是自主学习，有助于激发学创造动机，提高动手实践能力，树立科学思想，培养创新精神.因此，在近些高考命题中都有所体现.而要解决高考中的研究性学习问题，就要针对提出的数学问题，充分研究问题的条件和结论之间的联系，运用解决问题和分析问题的数学能力，发现解题依据，从中寻求最佳解题方法.
题型一 知识类比问题
【例1】设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8?S4，S12?S8，S16?S12成等差数列.类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4， ， ，
点拨：根据类比猜想得出T4，
T16成等比数列. T12T8T12T16，成等比数列.本题考查由等差数列到等比数列的拓展推广，,T4T8T12因为类比是数学发现的重要源泉，因此平时的教学与复习中更要注意类比等思想方法的学习.
解析：
T8T12TTT对于等比数列，通过类比，有等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，8,12，16,T4T8 T4T8T12成等比数列.
易错点：在等差数列到等比数列类比过程，同学们易把握不住类比的方向，如等差数列中的“差”类比成等比数列中的“商”.
变式与引申
1．已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值.
x2y2试对双曲线2?2?1写出具有类似特性的性质，并加以证明.
ab题型二 条件探索性问题
例2 已知首项为x1的数列{xn}满足xn?1?axn，其中a为常数. xn?1?(Ⅰ)若对任意的x1??1，有xn?1?xn对任意的n?N都成立，求a的值； (Ⅱ)当a?1时，若x1?0，数列{xn}是递增数列还是递减数列？请说明理由；
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