(Ⅲ)当a确定后，数列{xn}由其首项x1确定，当a?2时，通过对数列{xn}的探究，写出“{xn}是有穷数列”的一个真命题（不必证明）.
说明：对于第(Ⅲ)小题，将根据写出真命题所体现的思维层次和对问题探究的完整性，给予不同的评分.
点拨：本题作为高考的压轴题，考察学生对数列中递推公式的理解和应用，因此可从递推公式入手，求出关于通项xn的方程，求出参数，第(Ⅱ)小题可应用证明数列单调性的定义法，直接比较xn与xn?1的大小，第(Ⅲ)小题属于开放探索型题型，要求学生写出使得结论成立的条件，此时关键在于求出与结论等价的充分必要条件.
条件开放的数学问题，可用执果索因的演绎法或由特殊到一般的归纳法，也可以从结论出发，利用给定的条件，逆向推理直到终结点便是所探索的条件．
axnaxnxn?1a2xn???xn， 解析：(Ⅰ)由于xn?1?axnxn?1ax?x?1nn?1xn?1a??a2?1则axn?(a?1)xn?xn，当n?1时，由于x1的任意性，得?，则a??1
?a?1?022(Ⅱ)数列{xn}是递减数列，由于x1?0，xn?1?axn?，则xn?0，n?N恒成立 xn?1xnxn2又由于xn?1?xn??xn???0，n?N?，因此数列{xn}是单调递减数列.
xn?1xn?1(Ⅲ)真命题：
① 数列{xn}满足xn?1?1axn，若x1??，则数列{xn}是有穷数列；
7xn?11axn?，若x1?，m?N，则数列{xn}是有穷数列； m1?2xn?1② 数列{xn}满足xn?1?③ 数列{xn}满足xn?1?axn?，则数列{xn}是有穷数列的充要条件是存在m?N，使得xn?1x1?1； 1?2m1axn，则数列{xn}是有穷数列且项数为m的充要条件是x1?，
1?2mxn?1④ 数列{xn}满足xn?1?m?N?.
易错点：在求解递推公式时，求解xn与xn?1之间的公式出错.判断并证明数列单调性中，没有利用一般
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的归纳法得到xn?0，给接下来的证明带来困难. 变式与引申
2．给定集合An?{1,2,3,...,n}，映射f:An?An满足：
①当i,j?An,i?j时，f(i)?f(j)；
②任取m?An,若m?2，则有m?{f(1),f(2),..,f(m)}.
则称映射f：An?An是一个“优映射”.例如：用表1表示的映射f：A3?A3是一个“优映射”. 表1 表2
i f(i) 1 2 2 3 3 1 i f(i) 1 2 3 3 4 已知表2表示的映射f： A4?A4是一个优映射，请把表2补充完整（只需填出一个满足条件的映射）. 题型三 结论探索型问题
例3 如图9－3－1，在直棱柱ABCD—A1B1C1D1中． (Ⅰ)当A1C?B1D1时，试确定底面四边形ABCD的形状；
(Ⅱ)如果底面ABCD是正方形，E是C1D1的中点，是否存在实数??(2,3)，当AB??AA1时，
DE?CA1．若存在，求出实数?的范围；若不存在，说明理由．
点拨：(Ⅰ)根据条件，可以考虑四边形的特殊性，采用逆推法；（2）在ABCD是正方形的情况下，可以建立空间直角坐标系，利用向量运算的确定性来转化开放运动的不定条件，方便问题的解决．
解析：(Ⅰ)根据条件与结论分析，如果A1C?B1D1，则BDAA1C，只要满足条件A一定垂直平面1D1AC?BD，就能推出结论，因此对四边形ABCD的形状可以是正方形、菱形、筝形． E
B1 C1 AD
故DE?CD1
B9－3－1
C由于?D1ED??CDE??CD1D，则?CDD1∽?DD1E 因此
D1EDD1?，而AB?CD?2D1E，DD1?AA1， DD1CDAB?2?(2,3)，故不存在实数??(2,3)使得DE?CA1 AA112
可得??
易错点：应用三垂线定理中出错，未能将线斜垂直转化为线影垂直.
变式与引申
3．如图9－3－2所示，已知：直线m∥n，A、B为直线n上两点，C、P为直线m上两点． （1）请写出图中面积相等的各对三角形；
（2）如果A、B、C为三个定点，点P在m上移动， 那么，无论P点移动到任何位置，总有________与 △ABC的面积相等．理由是：_________________.
图9－3－2
题型四 综合探究能力问题
例4对于函数f(x)，若存在x0?R，使f(x0)?x0成立，则称x0为f(x)的不动点.已知函数
f(x)?ax2?(b?1)x?(b?1) (a?0).
（Ⅰ）当a?1，b??2时，求函数f(x)的不动点；
（Ⅱ）若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若y?f(x)图像上A，B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且A，B两点关于直线y?kx?12a2?1对称，求b的最小值.
点拨：理解不动点的概念，求出不动点的充要条件.本题以高等数学中不动点的概念为背景，考察学生能综合灵活运用所学数学知识，思想方法.对新概念、新知识、新信息、新情景、新问题进行分析、探索、创造性的解决问题的能力.
2解析：（Ⅰ）f(x)?x?x?3，因为x0为不动点，因此有f(x0)?x0?x0?3?x0
2所以x0??1或x0?3，所以3和?1为f(x)的不动点.
（Ⅱ）因为f(x)恒有两个不动点，f(x)?ax2?(b?1)x?(b?1)?x， 即ax2?bx?(b?1)?0，由题设b2?4a(b?1)?0恒成立，即对任意b?R，
b2?4ab?4a?0恒成立，所以有(4a)2?4(4a)?0?a2?a?0，所以0?a?1. x1?x2b1??，由题设k??1即y??x?， 222a2a?1bb1,?2)， 设A，B的中点为E，则E(?2a2a2a?1（Ⅲ）由ax?bx?(b?1)?0，得
2因为xE?yE，所以?bb1a??2，所以有b??2??2a2a2a?12a?112a?1a??122??2， 4因为0?a?1，当且仅当2a?122即a?时，b有最小值?. a2413
易错点：学生未能理解不动点的概念，仅仅简单地从字面上理解，未能转化为数学语言，这也要求我们在训练学生思维能力方面重要的把握对概念的理解. 变式与引申
4.设f(x)是定义在[0,1]上的函数，若存在x*?(0,1)，使得f(x)在[0,x*]上单调递增，在[x*,1]上单调递减，则称f(x)为[0,1]上的单峰函数，x*为峰点，包含峰点的区间为含峰区间．
（I）证明：对任意的x1，x2?(0,1)，x1?x2，若f(x1)?f(x2)，则(若f(x1)?f(x2)，0,x)2为含峰区间；则[x*,1]为含峰区间；
（II）对给定的r（0?r?0.5），证明：存在x2?(0,1)，满足x2?x1?2r，使得由（I）所确定的含峰区间的长度不大于0.5?r（区间长度等于区间的右端点与左端点之差）
本节主要考查：高考数学命题中的研究性创新问题主要有学习能力型、结论探索型、解题策略研究型、综合探究能力型等几种类型. 研究性创新问题因其思维含量高、知识覆盖面广、综合性强，这类创新题在高考中频频亮相.
点评：所谓创新意识就是能发现问题、提出问题，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想方法，
选择有效的方法和手段分析信息，进行独立的思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题. 创新意识是理性思维的高层次表现.对数学问题的“观察、猜测、抽象、概括、证明”，是发现问题和解决问题的重要途径，对数学知识的迁移、组合、融会的程度越高，显示出的创新意识也就越强.
高考中的研究性学习问题，就要针对提出的数学问题，充分研究问题的条件和结论之间的联系，运用数学综合能力，发现解题依据，从中寻求最佳解题方法. 如类比是将解题方法、式子结构、运算法则、问题结论等或引申、或推广、或迁移，由已知探索未知，由旧知探索新知；善于从若干特殊现象中总结出一般规律.
高考中对创新意识的考查是对高层次理性思维的考查.在考试中创设新颖的问题情境，构造有一定深度和广度的数学问题时，往往注重问题的多样化，体现思维的发散性；精心设计考查数学主体内容、体现数学素质的试题；也会有反映数、形运动变化的试题以及研究型、探索型、开放型等类型的试题.这种试题往往以压轴题的形式出现.
习题9－3
x2y21．已知F1、F2是椭圆2?2?1 的两个焦点，P是椭圆上一点，且
ab?F1PF2?90?，则?F1PF2的面积是b2，请将题目中所空缺的一个可能条件填入_________处.
2．对于在区间[m,n]上有意义的两个函数f(x)与g(x)，如果对任意的x?[m,n]，均有f(x)?g(x)?1，则称f(x)与g(x)在[m,n]上是接近的，否则称f(x)与g(x)在[m,n]上是非接近的，现有两个函数
f1(x)?loga(x?3a)与f2(x)?loga
1(a?0,a?1)，给定区间[a?2,a?3]. x?a14
（Ⅰ）若f1(x)与f2(x)在给定区间[a?2,a?3]上都有意义，求a的取值范围; (Ⅱ)讨论f1(x)与f2(x)在给定区间[a?2,a?3]上是否是接近的.
3．如图9－3－3所示，五边形 ABCDE是张大爷十年前承包的一块土地的示意图，经过多年开垦荒地，现已变成如图9－3－4所示的形状，但承包土地与开垦荒地的分界小路（9－3－4中折线CDE）还保留着；张大爷想过E点修一条直路，直路修好后，要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多，右边的土地面积与开垦的荒地面积一样多．请你用有关的几何知识，按张大爷的要求设计出修路方案（不计分界小路与直路的占地面积）．
（1）写出设计方案．并画出相应的图形； （2）说明方案设计理由． 图9－3－3 图9－3－4
x2y22224．过椭圆2?2?1?a?b?0?上的动点P引圆x?y?b的两条切线PA、PB，A、B为切点，直线
baAB与x轴、y轴分别交于M、N. （1）问代数式
b2ON2?a2OM2的值是否与P点的运动相关？并证明你的结论；
????????（2）是否存在点P使得PA?PB?0？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，说明理由.
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