2012高考数学压轴题精练三
1．（本小题满分13分） 如
图
，
已
知
双
曲
线
C
：
x2y2??1(a?0，b?0)的右准线l1与一条渐近a2b2线l2交于点M，F是双曲线C的右焦点，O为坐标原点.
?? （I）求证：OM?MF；
? （II）若|MF|?1且双曲线C的离心率e?6，求双曲线C的方程； 2 （III）在（II）的条件下，直线l3过点A（0，1）与双曲线C右支交于不同的两点P、
??Q且P在A、Q之间，满足AP??AQ，试判断?的范围，并用代数方法给出证明. ba2解：（I）?右准线l1：x?，渐近线l2：y?x
ac?a2aba2ab222 ?M(，)，?F(c，0)，c?a?b，?OM?(，)
cccc?a2abb2ab，?)?(，?) MF?(c?cccc??a2b2a2b2?2?0 ?OM?MF?2cc （II）?e????OM?MF
……3分
6b2，??e2?1?，?a2?2b2 2a2?b4a2b2b2(b2?a2)?|MF|?1，?2?2?1，??1 ccc2?b2?1，a2?1x2?y2?1 ?双曲线C的方程为：2
……7分
（III）由题意可得0???1
……8分
证明：设l3：y?kx?1，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)
?x2?2y2?2 由?得(1?2k2)x2?4kx?4?0
?y?kx?1 ?l3与双曲线C右支交于不同的两点P、Q
?1?2k2?0?22???16k?16(1?2k)?0? ??x?x?4k?0121?2k2??4?0?x1x2??1?2k2? ??1?k???2k???2??2 ??k?1?k?0?2??1?2k?0
……11分
2 2?? ?AP??AQ，?(x1，y1?1)??(x2，y2?1)，得x1??x2
4k42，?x??21?2k21?2k2 222(1??)16k4k2????2???4(1?2k2)2k2?12k2?1?(1??)x2?2(1??)22，?0?2k?1?1，??4 ??1?k??2? ?(1??)?4?2??2?2??1?0
……13分
??的取值范围是（0，1）
2．（本小题满分13分）
(x?0)?0已知函数f(x)???n[x?(n?1)]?f(n?1)数列{an}满足an?f(n)(n?N*) （I）求数列{an}的通项公式；
(n?1?x?n，n?N*)，
（II）设x轴、直线x?a与函数y?f(x)的图象所围成的封闭图形的面积为
S(a)(a?0)，求S(n)?S(n?1)(n?N*)；
（III）在集合M?{N|N?2k，k?Z，且1000?k?1500}中，是否存在正整数N，使得不等式an?1005?S(n)?S(n?1)对一切n?N恒成立？若存在，则这样的正整数N共有多少个？并求出满足条件的最小的正整数N；若不存在，请说明理由.
（IV）请构造一个与{an}有关的数列{bn}，使得lim(b1?b2???bn)存在，并求出
n??这个极限值. 解：（I）?n?N*
?f(n)?n[n?(n?1)]?f(n?1)?n?f(n?1) ?f(n)?f(n?1)?n
……1分
?f(1)?f(0)?1 f(2)?f(1)?2
f(3)?f(2)?3 f(n)?f(n?1)?n 将这n个式子相加，得 f(n)?f(0)?1?2?3???n?n(n?1) 2?f(0)?0 n(n?1)
?f(n)?2n(n?1)(n?N*) ……3分 2 （II）S(n)?S(n?1)为一直角梯形（n?1时为直角三角形）的面积，该梯形的两底
?an?边的长分别为f(n?1)，f(n)，高为1 ?S(n)?S(n?1)?a?anf(n?1)?f(n)?1?n?1
22……6分
1n(n?1)n(n?1)n2?]? ?[
2222 （III）设满足条件的正整数N存在，则
n(n?1)n2n?1005???1005?n?2010
222 又M?{2000，2002，?，2008，2010，2012，?，2998} ?N?2010，2012，……，2998均满足条件 它们构成首项为2010，公差为2的等差数列.
设共有m个满足条件的正整数N，则2010?2(m?1)?2998，解得m?495 ?M中满足条件的正整数N存在，共有495个，Nmin?2010 ……9分 （IV）设bn?2111?2(?) ，即bn?n(n?1)nn?1an11111111)?(?)?(?)???(?)]?2(1?) 22334nn?1n?11]?2……10分 显然，其极限存在，并且lim(b1?b2???bn)?lim[2?n??n??n?1 则b1?b2???bn?2[(1?n1n?n1cn?1 注：bn?（c为非零常数），bn?()，bn?q(0?|q|?1)等都能使
2an2a2an??lim(b1?b2???bn)存在.
19. （本小题满分14分）
y2x2?1的两个焦点分别为F1、F2，离心率为2. 设双曲线2?3a （I）求此双曲线的渐近线l1、l2的方程；
（II）若A、B分别为l1、l2上的点，且2|AB|?5|F1F2|，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；
??（III）过点N(1，0)能否作出直线l，使l与双曲线交于P、Q两点，且OP·OQ?0.
若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由. 解：（I）?e?2，?c?4a
22
?c2?a2?3，?a?1，c?2
x23?1，渐近线方程为y?? ?双曲线方程为y?x 3324分
（II）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点Mx，y
???2|AB|?5|F1F2|55?|AB|?|F1F2|??2c?1022?(x1?x2)2?(y1?y2)2?10
33x1，y2??x2，2x?x1?x2，2y?y1?y23333?y1?y2?(x1?x2)，y1?y2?(x1?x2)33又y1???3(y1?y2)?2?3???(x1?x2)??10?3?21x23y22??1 ?3(2y)?(2x)?100，即375252 则M的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为103，短轴长为（9分）
（III）假设存在满足条件的直线l
设l：y?k(x?1)，l与双曲线交于P(x1，y1)、Q(x2，y2)
103的椭圆.3
???OP·OQ?0?x1x2?y1y2?0?x1x2?k(x1?1)(x2?1)?0?x1x2?k2?x1x2?(x1?x2)?1??0(i)2
?y?k(x?1)?由?2x2得(3k?1)x2?6k2x?3k2?3?0y??1 ? 3?6k23k2?3则x1?x2?2，x1x2?2(ii)3k?13k?1 由（i）（ii）得k?3?0
∴k不存在，即不存在满足条件的直线l.
14分
2