3. （本小题满分13分）
已知数列?an?的前n项和为Sn(n?N*)，且Sn?(m?1)?man对任意自然数都成立，其中m为常数，且m??1. （I）求证数列?an?是等比数列；
（II）设数列?an?的公比q?f(m)，数列?bn?满足：b1?1a1，bn?f(bn?1) 3(n?2，n?N*)，试问当m为何值时，limbn(lgan)?lim3(b1b2?b2b3?b3b4?
n??n??…?bn?1bn)成立？
解：（I）由已知Sn?1?(m?1)?man?1 Sn?(m?1)?man （2）
由(1)?(2)得：an?1?man?man?1，即(m?1)an?1?man对任意n?N都成立
*(1)
?m为常数，且m??1am ?n?1?anm?1即?an?为等比数列5分
（II）当n?1时，a1?(m?1)?ma1
?a1?1，从而b1?13mm?1
由（I）知q?f(m)??bn?f(bn?1)?bn?1(n?2，n?N*)bn?1?1?1111?1?，即??1bnbn?1bnbn?1?1??为等差数列?bn?11?3?(n?1)?n?2，bn?(n?N*)bnn?2n?1 ??
?9分?m? ?an????m?1?
n?1mm?limbn(lgan)?lim·lg?lgn??n??n?2m?1m?1 lim3(b1b2?b2b3?…?bn?1bn)n??
11??1111?lim3?????…????1n???3445n?1n?2? 由题意知lg
4．（本小题满分12分）
mm10?1，??10，?m?? m?1m?1913分
x2y2设椭圆2?2?1(a?b?0)的左焦点为F，上顶点为A，过点A与AF垂直的直线分
ab别交椭圆和x轴正半轴于P，Q两点，且P分向量AQ所成的比为8∶5．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若过A,Q,F三点的圆恰好与直线l：x?3y?3?0相切，求椭圆方程． 解：（1）设点Q(x0,0),F(?c,0),其中c?由P分AQ所成的比为8∶5，得P(2a2?b2,A(0,b)．
85x0,b)， 2分 131382x523∴()02?()?1?x0?a．①， 4分
13a132而FA?(c,b),AQ?(x0,?b),FA?AQ，
b2∴FA?AQ?0．?cx0?b?0,x0?．②， 5分
c2由①②知2b?3ac,?2c?3ac?2a?0． ∴2e?3e?2?0.?e?22221． 6分 2b2?c2,0)， （2）满足条件的圆心为O?(2cb2?c2a2?c2?c2??c,?O?(c,0)， 8分 2c2c
b2?2a2c??a． 10分 圆半径r?22c由圆与直线l：x?3y?3?0相切得，
|c?3|?a， 2x2y2??1． 12分 又a?2c,?c?1,a?2,b?3．∴椭圆方程为43
5．（本小题满分14分）
（理）给定正整数n和正数b，对于满足条件a1?an?1?b的所有无穷等差数列?an?，
2试求y?an?1?an?2???a2n?1的最大值，并求出y取最大值时?an?的首项和公差．
（文）给定正整数n和正数b，对于满足条件a1?an?1?b的所有无穷等差数列?an?，
2试求y?an?1?an?2???a2n?1的最大值，并求出y取最大值时?an?的首项和公差．
（理）解：设?an?公差为d，则an?1?a1?nd,nd?an?1?a1． 3分
y?an?1?an?2???a2n?1?an?1?(an?1?d)???(an?1?nd) ?(n?1)an?1?(1?2???n)d?(n?1)an?1?n(n?1)d 4分 2?(n?1)(an?1??a?a1nd)?(n?1)(an?1?n?1) 22n?1(3an?1?a1)． 7分 222又a1?an?1?b,??a1??b?an?1．
∴3an?1?a1??an?1?3an?1?b??(an?1?)?23229?4b9?4b?，当且仅当44an?1?3时，等号成立． 11分 2n?1(n?1)(9?4b)(3an?1?a1)?∴y?． 13分 2894b?3(n?1)(9?4b)当数列?an?首项a1?b?，公差d??时，y?，
44n8
∴y的最大值为
(n?1)(9?4b)． 14分
8（文）解：设?an?公差为d，则an?1?a1?nd,nd?an?1?a1． 3分
y?an?1?an?2???a2n?1?an?1(an?1?d)???(an?1?nd)?(n?1)an?1?(1?2???n)d?(n?1)an?1?n(n?1)ndd?(n?1)(an?1?)22an?1?a1n?1)?(3an?1?a1)， 6分 222
?(n?1)(an?1?2又a1?an?1?b,??a1??b?an?1．
∴3an?1?a1??an?1?3an?1?b??(an?1?)?当且仅当an?1?23229?4b9?4b?． 443时，等号成立． 11分 2n?1(n?1)(9?4b)(3an?1?a1)?∴y?． 13分 2894b?3(n?1)(9?4b)当数列?an?首项a1?b?，公差d??时，y?．
44n8(n?1)(9?4b)∴y的最大值为． 14分
8
6．（本小题满分12分）
垂直于x轴的直线交双曲线x?2y?2于M、N不同两点，A1、A2分别为双曲线的左顶点和右顶点，设直线A1M与A2N交于点P（x0，y0）
（Ⅰ）证明：x0?2y0为定值; （Ⅱ）过P作斜率为?2222x0的直线l，原点到直线l的距离为d，求d的最小值. 2y0解（Ⅰ）证明：设M(x1,?y1),则N(x1,?y1),?A1(?2,0),A2(2,0)
?直线A1M的方程为y?y1x1?2(x?2) ①
直线A2N的方程为y??y1x1?2(x?2) ②……4分
①×②，得y?2?y12x1?22(x2?2)
1?x12?2y12?2,?y2??(x2?2),即x2?2y2?22 ?P(x0,y0)是直线A1M与A2N的交点22?x0?2y0?2为定值??8分（Ⅱ）l的方程为y?y0??x022(x?x0),结合x0?2y0?2整理得x0x?2y0y?2?0 2y0于是d?222x0?4y0?222?2y0?2……10分 21?y022?x0?2y0?22?y0?12?1?y0?2?d?2?1 21?y02当y0??1时,y0?1,d取最小值1……12分
7．（本小题满分14分） 已知函数f(x)?x?sinx
（Ⅰ）若x?[0,?],试求函数f(x)的值域;
2f(?)?f(x)2??x?f();
332f(?)?f(x)2??x与f()的（Ⅲ）若x?[k?,(k?1)?],??(k?,(k?1)?),k?Z,猜想33（Ⅱ）若x?[0,?],??(0,?),求证:大小关系（不必写出比较过程）.
解：（Ⅰ）当x?(0,?)时,f?(x)?1?cosx?0,?f(x)为增函数
又f(x)在区间[0,?]上连续 所以f(0)?f(x)?f(?),求得0?f(x)??
即f(x)的值域为[0,?]??4分
（Ⅱ）设g(x)??2f(?)?f(x)2??x2f(?)?sinx2??x?f()，即g(x)???sin
333312??xg?(x)?(?cosx?cos)……6分
33?x?[0,?],??(0,?)2??x??(0,?)
3由g?(x)?0,得x???当x?(0,?)时,g?(x)?0,g(x)为减函数.当x?(?,?)时,g?(x)?0,g(x)为增函数??8分
?g(x)在区间[0,?]上连续则g(?)为g(x)的最小值对x?[0,?]有g(x)?g(?)?0因而
2f(?)?f(x)2??x?f()?10分332f(?)?f(x)2??x?f() （Ⅲ）在题设条件下，当k为偶数时
332f(?)?f(x)2??x?f()……14分 当k为奇数时
33