高三数学专题复习――函数
一、本章知识结构： 映射 函数 指数函数 对数函数 函数的表示法 函数的三要素 基本初等函数： 幂函数 ； 二次函数 指数函数； 对数函数
二、考点回顾
函数的性质 反函数 初等函数 函数的应用 1.理解函数的概念，了解映射的概念.
2.了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方法，并能利用函数的性质简化函数图像的绘制过程．
3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系.
4.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像和性质. 5.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图像和性质. 6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.
7、掌握函数零点的概念，用二分法求函数的近似解，会应用函数知识解决一些实际问题。 三、经典例题剖析
考点一：函数的性质与图像
函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容．在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫．
复习函数的性质，可以从“数”和“形”两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化．具体要求是：
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1．正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性．
2．从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法．
3．培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力．
函数的图像是函数性质的直观载体，函数的性质可以通过函数的图像直观地表现出来。 因此，掌握函数的图像是学好函数性质的关键，这也正是“数形结合思想”的体现。复习函数图像要注意以下方面。
1．掌握描绘函数图像的两种基本方法——描点法和图像变换法．
2．会利用函数图像，进一步研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题． 3．用数形结合的思想、分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决数学问题． 4．掌握知识之间的联系，进一步培养观察、分析、归纳、概括和综合分析能力．
例1、设集合A={x|x<-1或x>1}，B={x|log2x>0}，则A∩B=( )
B．{x|x>0}
C．{x|x<-1} D．{x|x<-1或x>1}
A．{x| x>1}
【解析】:由集合B得x>1 ,? A∩B={x| x>1}，故选（A） 。
［点评］本题主要考查对数函数图像的性质，是函数与集合结合的试题，难度不大，属基础题。
例2、“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点?用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下图与故事情节相吻合的是 （ ）
A B C D 第 2 页 共 11 页
【解析】：选（B），在（B）中，乌龟到达终点时，兔子在同一时间的路程比乌龟短。
［点评］函数图像是近年高考的热点的试题，考查函数图像的实际应用，考查学生解决问题、分析问题的能力，在复习时应引起重视。
例3、设 f?x??1?x，又记 1?xf1?x??f?x?,fk?1?x??f?fk?x??,k?1,2,?,则f2008?x?? （ ）
A．
1?xx?11； B．； C．x； D．?； 1?xx?1x【解析】:本题考查周期函数的运算。f1?x??1?f11?x1,f2?x????， 1?x1?f1x??n?4?x?21，xf3?x??1?x1?f31?f2x?1,f?,f4?x???x，据此，f4n??1x??1?x1?f2x?11?f3x?1,f4n?x??x，因2008为4n型，故选C. x?1f4n?3?x??［点评］本题考查复合函数的求法，以及是函数周期性，考查学生观察问题的能力，通过观察，关于总结、归纳，要有从特殊到一般的思想。
例4、函数f(x)?x3?sinx?1(x?R)，若f(a)?2,则f(?a)的值为（ ） A.3 B.0 C.-1 D.-2
【解析】：f(x)?1?x3?sinx为奇函数，又f(a)?2?f(a)?1?1
故f(?a)?1??1即f(?a)?0.
［点评］本题考查函数的奇偶性，考查学生观察问题的能力，通过观察能够发现如何通过变换式子与学过的知识相联系，使问题迎刃而解。
例5、已知集合P?(x,y)y?x?a，集合Q?(x,y)y??x?b，若P?Q??，求实数a和b之间的大小关系。 【解析】：利用数形结合，分别讨论当a＞0，a＜0和a=0三种情况下，a与b之间的关系。
（1） 当a＞0时，b≥a＞0； （2） 当a=0时，b≥a=0； （3） 当a＜0时，b≥-a＞0。
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综上所述，b?a。
［点评］在作含有绝对值的函数图像时，可利用奇偶性、对称性等。此外，在解集合的
题目时，一定要看清楚集合中的元素到底表示什么含义，比如此题中集合的元素是点。
考点二：二次函数
二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延. 作为最基本的初等函数，可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；作为抛物线，可以联系其它平面曲线讨论相互之间关系. 这些纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题. 同时，有关二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系，是学生进入高校继续深造的重要知识基础. 因此，从这个意义上说，有关二次函数的问题在高考中频繁出现，也就不足为奇了.
学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征. 从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法.
例6、设二次函数f?x??ax?bx?c?a?0?，方程f?x??x?0的两个根x1,x2满足
20?x1?x2?1。当x??0,x1?时，证明：x?f(x)?x1。 a【解析】：在已知方程f?x??x?0两根的情况下，根据函数与方程根的关系，可以写出函数
f?x??x的表达式，从而得到函数f(x)的表达式.
证明：由题意可知
f(x)?x?a(x?x1)(x?x2).
1时， a当x?0,x1，且0?x1?x2? a(x?x1)(x?x2)?0，
??∴ 当x?0,x1时，f(x)?x。
又f(x)?x1?a(x?x1)(x?x2)?x?x1?(x?x1)(ax?ax2?1)， 当0?x?x1?x2?∴ f(x)?x1。
??1时，x?x1?0,且ax?ax2?1?1?ax2?0, a第 4 页 共 11 页
综上可知，所给问题获证.
［点评］：本题主要利用函数与方程根的关系，写出二次函数的零点式y?a?x?x1??x?x2?.。 例7、设二次函数f(x)?x2?ax?a，方程f(x)?x?0的两根x1和x2满足0?x1?x2?1． （I）求实数a的取值范围；（第1问 采用解法1中的方法较好） （II）试比较f(0)f(1)?f(0)与
1的大小．并说明理由．（第2问 采用解法3中的方法较好） 16【解析】法1：（Ⅰ）令g(x)?f(x)?x?x2?(a?1)x?a，
???0，?1?a?a?0，??1，??0?则由题意可得??0?a?3?22． ???1?a?1，2??g(1)?0，?a?3?22，或a?3?22，???g(0)?0，故所求实数a的取值范围是(0，3?22)．
（II）f(0)?f(1)?f(0)?g(0)g(1)?2a2，令h(a)?2a2．
?当a?0时，h(a)单调增加，
?当0?a?3?22时，0?h(a)?h(3?22)?2(3?22)2?2(17?122)
111?2??，即f(0)?f(1)?f(0)?．
1617?12216法2：（I）同解法1．
（II）?f(0)f(1)?f(0)?g(0)g(1)?2a2，由（I）知0?a?3?22， 于是 ∴42a?1?122?17?0．又42a?1?0，111?(32a2?1)?(42a?1)(42a?1)?0， 161616112?0，故f(0)f(1)?f(0)?． 即2a?16162a2?2法3：（I）方程f(x)?x?0?x?(a?1)x?a?0，由韦达定理得
???0，?x?x?0，12?? x1?x2?1?a，x1x2?a，于是0?x1?x2?1??x1x2?0，?(1?x)?(1?x)?0，12???(1?x1)(1?x2)?0第 5 页 共 11 页