数列综合应用（1）
————用放缩法证明与数列和有关的不等式
一、备考要点
数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中， 是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生 综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．解决 这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条： 一是先求和再放缩，二是先放缩再求和．
二、典例讲解
1．先求和后放缩 例1．正数数列
?an?的前n项的和Sn，满足
2Sn?an?1，试求： （1）数列
?an?的通项公式；
?1anan?1，数列
（2）设bn?bn?的前n项的和
为Bn，求证：B?1
n22. 先放缩再求和
①．放缩后成等差数列，再求和
例2．已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn, 且an2?an?2Sn.
an2?an?12(1) 求证：Sn?；
4SS?1(2) 求证：n?S1?S2?????Sn?n?1 22②．放缩后成等比数列，再求和
例3．（1）设a，n∈N*，a≥2，证明：
a2n?(?a)n?(a?1)?an；
（2）等比数列{an}中，a1??1，前n项的和为An， 22an且A7，A9，A8成等差数列．设bn?1?an前n项的和为Bn，证明：Bn＜
，数列{bn}
1． 3
1
③．放缩后为差比数列，再求和
例4．已知数列{an}满足：a1?1，
an?1?(1?n)an(n?1,2,3?)．求证： 2nan?1?an?3?n?1 2n?1④．放缩后为裂项相消，再求和
例5．在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…Pn中， 若1≤i＜j≤m时Pi＞Pj（即前面某数大于后面某数）， 则称Pi与Pj构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的 总数称为该排列的逆序数. 记排列(n?1)n(n?1)?321 的逆序数为an，如排列21的逆序数a1?1，排列321的 逆序数a3?6．
（1）求a4、a5，并写出an的表达式； （2）令b?nana?n?1，证明： an?1an2n?b1?b2??bn?2n?3，n=1,2,….
高考真题再现：
1.（06浙江卷）已知函数
f(x)?x3?x2，数列{xn}
(xn＞0)的第一项x1＝1，以后各项按如下方式取定： 曲线
y?f(x)在(xn?1,f(xn?1))处的切线与经过
（0，0）和（xn，
*f(xn)）两点的直线平行（如图）
求证：当n?N时， (Ⅰ)
22xn?xn?3xn?1?2xn?1；
（Ⅱ）(1n?11)?xn?()n?2。 22
2
2.（06福建卷）已知数列
?an?满足
a1?1,an?1?2an?1(n?N*).
（I）求数列
?an?的通项公式；
an1a1a2n????...?n?(n?N*). 23a2a3an?12（II）证明：
3.（07浙江）已知数列是关于x的方程x2?an?中的相邻两项a2k?1，a2k
?(3k?2k)x?3k?2k?0的
?1，2，3，?)．
两个根，且a2k?1≤a2k(k（I）求a1，a2，a3，a7； （II）求数列
?an?的前2n项和S2n；
?1?sinn?3??，
2?sinn?，
（Ⅲ）记
f(n)?(?1)f(2)(?1)f(3)(?1)f(4)(?1)f(n?1)Tn????…?a1a2a3a4a5a6a2n?1a2n求证：
4.（07湖北）已知m，n为正整数， （I）用数学归纳法证明：当x15≤Tn≤(n?N*)． 624??1时，
(1?x)m≥1?mx；
1?1?（II）对于n≥6，已知?1?， ??2?n?3?m??1??求证?1?????n?3???2?（III）求出满足等式3的所有正整数n．
nmmm，m?1，2，?，n；
?4n???(n?2)n?(n?3)m
3
5. （08辽宁）在数列
?an?,?bn?中,a1?2,b1?4,
且an,bn,an?1成等差数列,bn,an?1,bn?1成等比数列. ⑴求a2,a3,a4及b2,b3,b4,由此猜测?an?,?bn?的通项
公式,并证明你的结论; ⑵证明:
1a?1???1?5.
1?b1a2?b2an?bn12
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数列综合应用（1）
————用放缩法证明与数列和有关的不等式
一、备考要点
数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中， 是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生 综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．解决 这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条： 一是先求和再放缩，二是先放缩再求和．
二、典例讲解
1．先求和后放缩 例1．正数数列
?an?的前n项的和Sn，满足
2Sn?an?1，试求： （1）数列
?an?的通项公式；
（2）设bn?1a，数列
?bn?的前n项的和nan?1为Bn，求证：B?1n2
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