第二十四讲 空间向量与立体几何
一、引言
（一）本讲的地位：空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角．空间向量的引入，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具．运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题，体会向量方法在研究几何图形中的应用，进一步发展空间想象能力和几何直观能力．
（二）考纲要求：了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解；掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直；会利用空间向量的坐标运算、两点间距离公式、夹角公式以及相关结论解决有关平行、垂直、长度、角、距离等问题，培养严谨的思维习惯，提高计算和推理能力．
（三）考情分析：高考中立体几何为必考内容，并且通常有一道综合题，用向量法来解，往往可以另辟蹊径，降低难度，多数情况下综合法、向量法都可以解题．
二、考点梳理
1．空间向量的概念
在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量向量一般用有向线段表示，同向等长的有向线段表示同一或相等的向量．
2．空间向量基本定理
????如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组?x,y,z?，使
得p?xa?yb?zc．若三向量a,b,c不共面，我们把{a,b,c}叫做空间的一个基底，a,b,c都叫做基向量，空间任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．
3．向量的数量积
??????????已知向量a,b，则|a|?|b|?cos?a,b?叫做a,b的数量积，记作a?b，
??????即a?b?|a|?|b|?cos?a,b?．
?????a?b?向量a,b的夹角公式?cos?a,b ???|a|?|b| ??ab?ab?ab112233a?b???.?cos?a,b???222222a1?a2?a3b1?b2?b3|a|?|b|??????????????A(x1,y1,z1).，B(x2,y2,z2)， 4．两点间的距离公式：若222222a1?a2?a3b1?b2?b32a1b1?a2b2?a3b3????则|AB|?????2AB?2(x2?x1)?(y2?y1)?(z2?z1)，
2222或dA,B?(x2?x1)?(y2?y1)?(z2?z1)．
?5．线面平行与线面垂直证明的向量方法：设直线l的方向向量是u?(a1,b1,c1)，平面? 1
?的法向量v?(a2,b2,c2)，则
????l//??u?v?u?v?0?a1a2?b1b2?c1c2?0； ????l???u//v?u?kv?(a1,b1,c1)?k(a2,b2,c2)?a1?ka2,b1?kb2,c1?kc2.
6．空间向量解决立体几何问题的“三步曲”
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；
（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义．
三、典型问题选讲
例1 如图，点A是△BCD所在平面外一点，G是△BCD的重心．求证：
????1????????????AG?(AB?AC?AD)．
3
????????????????分析：想方设法把向量AG逐步用AB,AC,AD
有关的向量表示，直至用它们表示为止．
????????????证明：∵AG?AC?CG，
????21??????????????????????????1???1???CG?[(CB?CD)]?(CB?CD)?(CA?AB?CA?AD)
3233????????1?????????????????????1???∴AG?AC?(2CA?AB?AD)?(AB?AC?AD)．
33????????????????????归纳小结：在本题的证明过程中，我们先把AG转化为AC?CG，再把CG用CB和
????????????????????????????CD表示，进而用CA?AB表示CB，用CA?AD表示CD，最终实现了问题的证明．证????????????????明过程思路清晰，目标明确，逐步把向量AG转化为向量AB,AC,AD．证明结论成立的过
程，就是把已知转化为未知的过程．同学们要认真体会化归与转化思想，特别是把空间向量问题转化为平面向量问题的思想，不断培养严谨规范的思维习惯，提高逻辑推理能力．特别值得注意的是，我们要注重基础知识的理解和应用．本题中，三角形重心概念的理解，平面
2
向量的三角形法则和平行四边形法则的应用对问题证明起到了至关重要的作用．
例2． 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60?，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线长与棱长有什么关系？
分析：由于平行六面体的棱之间具有平行关系，所以以A为起点的三个向量可以将各棱用向量形式表示．根据题设，不妨设这三个向量的模都是1．为了求出对角线AC1的长，
?????可以将AC1用与棱相关的向量表示出来．
?解：设AB?AA1?AD?1,?BAD??BAA1??DAA1?60．
?????????????????根据向量的加法法则，AC1?AB?AD?AA1．进行向量运算 ?????2????????????2AC1?(AB?AD?AA1)????2????2????2?????????????????????????AB?AD?AA1?2(AB?AD?AB?AA1?AD?AA1)?1?1?1?2(cos60?cos60?cos60)?6.?????所以AC1?6．回到图形问题，这个晶体的对角线AC1的长是棱长的6倍．
???
?归纳小结：空间两点间的距离，可以表示为以这两点为起点和终点的向量的模．向量a?的模满足的关系式a2???2?a?a?a．立体几何中有关距离的问题，经常用空间向量的数量积
解决．
?例3 如图，直三棱柱ABC?A1B1C1，?BCA?90，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的
中点，BC?CA?CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（ ）
3010A． B．
12 C．
3015 D．
1510
3
解析一：(综合法) 连结D1F1，D1F1?//∴D1F1?//12BC．
1B1C1． ?B1C1?//BC,
2设点E为BC中点，?D1F1?//BE． ∴BD1?//EF1． ∴?EF1A或补角即为所求．
3010由余弦定理可求得cos?EF1A?．
解析二：(向量法)
建立如图所示的坐标系，设BC?1． 则A(?1,0,0)，F1(?12?????????111即AF1?(,0,1)，BD1?(?,,1)．
222,0,1)，B(0,?1,0)，D1(?12,?12,1)．
?????????∴cos?AF1,BD1???1414?1?14?143010．
?0?1?1? 4
归纳小结：我们用两种方法求两条异面直线所成的角．解法一体现传统方法：作—证—指—算—答；解法二把角的求解转化为向量运算，应注意体会两种方法的区别．
例4 如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，点E1，F1分别是A1B1,C1D1的一个四等分点，求BE1与DF1所成的角的余弦值．
?????????分析：BE1与DF1所成的角就是BE1，DF1所成的角或它的补角．因此，我们可以通?????????过BE1，DF1的坐标表示，计算出它们的数量积与模，进而求出它们所成角的余弦值．
?????????????解：不妨设正方体的棱长为1，分别以DA,DC,DD1为单位正交基底建立空间直角坐
标系Oxyz，
则B(1,1,0),E1(1,34,1),D(0,0,0),F1(0,14,1)．
????31所以,BE1?(1,,1)?(1,1,0)?(0,?,1),
44?????11DF1?(0,,1)?(0,0,0)?(0,,1),
44????BE1?174?????,DF1?174?????????1115,BE1?DF1?0?0?(??)?1?1?．
4416所以,
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