??????????????????BE?DF1cos?BE1,DF1??????1?????BE1?DF115?16174?1741517 ?1517.因此，BE1与DF1所成的角的余弦值是
．
归纳小结：用空间向量法来研究两条异面直线所成的角的一般步骤是：建立适当的空间坐标系→确定相应的点的坐标→确定相应的点的向量的坐标→用夹角公式确定两条异面直线所成的角．
例5 如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD?DC,点E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．
(1) 求证：PA∥平面EDB； (2) 求证：PB⊥平面EFD；
(3) 求二面角C?PB?D的大小．
分析：本题涉及的问题包括：判定直线与平面平行和垂直，计算二面角的大小．这些问题都可以利用向量方法解决．由于已知条件中四棱锥的底面是正方形，一条侧棱垂直于底面，所以非常适合建立空间坐标系表示向量．
解：如图所示，建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC?1．
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（1）证明：连结AC,AC交BD于点G，连结EG． 依题意得A(1,0,0),P(0,0,1),E(0,11,)． 221122因为底面ABCD是正方形，所以点G是此正方形的中心，故点G的坐标为(,????????11且PA?(1,0,?1),EG?(,0,?)．
22????????所以PA?2EG,即PA//EG．
,0)，
而EG?平面EDB,且PA?平面EDB，
因此PA∥平面EDB．
????????11（2）证明：依题意得B(1,1,0),PB?(1,1,?1)．又DE?(0,,)，
22????????11故PB?DE?0???0．
22所以PB⊥DE．
由已知EF⊥PB，且EF?DE?E． 所以PB⊥平面EFD．
(3)解：已知PB⊥EF，由（2）可知PB⊥DF，故?EFD是二面角C?PB?D的
????平面角．设点F的坐标为(x,y,z)，则PF?(x,y,z?1)．
????????因为PF?kPB，
所以(x,y,z?1)?k(1,1,?1)?(k,k,?k)，即x?k,y?k,z?1?k． ????????因为PB?DF?0,
所以(1,1,?1)?(k,k,1?k)?k?k?1?k?3k?1?0． 所以k?13，点F的坐标为(,,)，
333112????111所以FE?(?,,?)．
366 7
????????FE?FD因为cos?EFD?????????FE?FD(??1111121 ,,?)?(?,?,?)366333?6?1.1266?363所以?EFD?60?，即二面角C?PB?D的大小为60?．
归纳小结：证明线面平行、线面垂直，我们常常用向量法来解决．证明线面平行，只需证明直线对应的向量与平面内的一条直线对应的向量共线；证明线面垂直，需要证明这条直线对应的向量和平面内两条相交直线对应的向量的数量积均为0．求二面角，我们往往转化为线线角，利用夹角公式完成．需要指出的是，用向量法研究立体几何问题，概念的准确理
解，辅助线的合理构造，依然是关键和重要的．
例6 如图，在正四面体ABCD中，E为AD的中点，求直线CE与平面BCD成的角．
解法一:取BC的中点F，连结AF、DF ∵四面体ABCD是正四面体，
∴BC?AF,BC?DF，又AF?DF?F， ∴BC⊥面AFD．而BC?平面BCD, ∴面AFD⊥面BCD．
过E作EH⊥DH于H，则EH⊥面BCD, 则?ECH为CE与面BCD所成的角． 在Rt△CEH中，sin?ECH?23．即CE与平面BCD所成的角为arcsin23．
解法二：建立以三角形BCD的中心O为原点，OD，OA依次为y轴，z轴， x轴平行于BC．
设正四面体ABCD的棱长为a，
则OF?3a6,FC?a2,OD?3a3,OA?6a36a3 ∴C(,?2a3a6,0),D(0,3a3,0),A(0,0,),
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∵E为AD的中点，∴E(0,????a3a∴CE?(?,,233a6,6a6)
6a6)
又因为平面BCD的法向量为n?(0,0,1)，
??????????CE?n2???∴即CE与平面BCD成的角?满足sin??cos?CE,n????? 3|CE||n|?即CE与平面BCD所成的角为arcsin23．
归纳小结：用传统几何法求直线与平面所成的角，关键是找出与已知平面垂直的直线，从而确定斜线在面内的射影，得到斜线和平面所成的角，计算在三角形中进行．用向量法求直线与平面所成的角，关键是建立恰当的坐标系，求出斜线对应向量的坐标和平面的法向量坐标，由夹角公式及线面角与线线角的关系得到结果．
例7（2009宁夏海南卷）如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点．
（Ⅰ）求证：AC⊥SD；
（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由．
解：（Ⅰ）证明：连BD，设AC交BD于O，由题意知SO?平面ABCD．以O为坐
????????????OB,OC,OS标原点，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立坐标系O?xyz如图．
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????PAC(Ⅱ)由题设知，平面的一个法向量DS?(22a,0,62a)，平面DAC的一个法
????向量OS?(0,0,62a)，设所求二面角为?，则
cos??OS?DSOS?DS?32,所求二面角的大小为30?．
????（Ⅲ）在棱SC上存在一点E使BE//平面PAC．由（Ⅱ）知DS是平面PAC的一个
????法向量，且DS?(2262????a)，CS?(0,?2262a,0,a,a)．
????????设CE?tCS,
????????????????????则BE?BC?CE?BC?tCS ?(?22a,22a(1?t),1362 at)而BE?DS?0?t?????????，即当SE:EC?2:1时，BE?DS,
而BE不在平面PAC内，故BE//平面PAC．
四、本专题总结：
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本专题主要研究了用空间向量方法研究立体几何问题．突出的数学思想方法有：转化的思想：把立体几何问题转化为空间向量问题；类比的思想：把平面向量及其运算推广到空间向量；数形结合思想．
本专题学习中需要注意的问题
1．一般情况下，立体几何综合题，既可以用传统方法，也可以用向量方法来研究．解题时，我们要根据已知条件和图形特征，选择合适的方法，而不要机械地套用某种方法．
2．用空间向量方法研究立体几何的关键是根据图形的具体特征，建立适当的空间坐标系，以使关系明朗，思路清晰，计算简单．
3．理解并掌握向量方法解决立体几何问题的一般方法（“三步曲”）．
4．用空间向量法研究立体几何问题，要不断提高推理运算能力和空间想象能力．
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