（2）在PC上截取PD=AP，如图1， 又∵∠APC=60°，
∴△APD是等边三角形，
∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°． 又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°， ∴∠ADC=∠APB， 在△APB和△ADC中，
，
∴△APB≌△ADC（AAS）， ∴BP=CD， 又∵PD=AP， ∴CP=BP+AP； （3）当点P为
的中点时，四边形APBC的面积最大．理由如下，如图2，过点P作PE⊥AB，垂足为E． 过点C作CF⊥AB，垂足为F． ∵S△APE=AB?PE，S△ABC=AB?CF， ∴S四边形APBC=AB?（PE+CF）， 当点P为
的中点时，PE+CF=PC，PC为⊙O的直径，
∴此时四边形APBC的面积最大． 又∵⊙O的半径为1，
∴其内接正三角形的边长AB=， ∴S四边形APBC=×2×
=
．
11
27．
解答： 解：（1）∵EF是⊙O的直径，∴∠FDE=90°； （2）四边形FACD是平行四边形． 理由如下： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD，AC⊥BD， ∴∠AEB=90°． 又∵∠FDE=90°， ∴∠AEB=∠FDE， ∴AC∥DF， ∴四边形FACD是平行四边形； （3）①连接GE，如图． ∵四边形ABCD是菱形，∴点E为AC中点． ∵G为线段DC的中点，∴GE∥DA， ∴∠FHI=∠FGE． ∵EF是⊙O的直径，∴∠FGE=90°， ∴∠FHI=90°． ∵∠DEC=∠AEB=90°，G为线段DC的中点， ∴DG=GE， ∴=， ∴∠1=∠2． ∵∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°， ∴∠3=∠4， ∴FD=FI； ②∵AC∥DF，∴∠3=∠6． ∵∠4=∠5，∠3=∠4， ∴∠5=∠6，∴EI=EA． ∵四边形ABCD是菱形，四边形FACD是平行四边形，∴DE=BD=n，AE=AC=m，FD=AC=2m， ∴EF=FI+IE=FD+AE=3m． 在Rt△EDF中，根据勾股定理可得： n2+（2m）2=（3m）2， 即n=m， ∴m:n=55 12
28. 解：（1）BE=FH. 证明：∵∠AEF=90°，∠ABC=90°， ∴∠HEF+∠AEB=90°，∠BAE+∠AEB=90°， ∴∠HEF=∠BAE， 在△ABE和△EHF中， ， ∴△ABE≌△EHF（AAS） ∴BE=FH. （2）由（1）得BE=FH，AB=EH， ∵BC=AB， ∴BE=CH， ∴CH=FH， ∴∠HCF=45°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ACB=45°， ∴∠ACF=180°﹣∠HCF﹣∠ACB=90°. （3）由（2）知∠HCF=45°，∴CF= FH. ∠CFE=∠HCF﹣∠CEF=45°﹣15°=30°. 13
ADOMFBECHG 如图2，过点E作EG⊥CF于G， 则∠ECG=45° EG= EF= EC=22. ∴EF=4 . ∵△AEF为等腰直角三角形，∴AF=8. 取AF中点O，连接OE，则OE=OA=4，∠AOE=90°，∴ 的弧长为： =2π. 14