复变函数与积分变换
（修订版）
主编：马柏林
（复旦大学出版社）
——课后习题答案
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习题一
1. 用复数的代数形式a+ib表示下列复数
?1?8?0i??1 8
e?iπ/4;
3?5i13;(2?i)(4?3i);?. 7i?1i1?i???4????4?2?2?22 ???i???i??2?2?22??1?i3???1?i3?∴Re?, ?1Im????????0． 22????∵
3④解：
i?π??π?①解e?π4?cos??isin????1?i3??????2????1?3?3???1???3??2??3???1??3???82i?3????3?3?5i??1?7i?1613
②解： 3?5i????i7i?1?1+7i??1?7i?2525
?1?8?0i??1 8③解： ?2?i??4?3i??8?3?4i?6i?5?10i 3?1?i?3513=?i???i ④解： ?i1?i222
??1?i3??1?i3?, ∴Re?． Im??1??????0???2??2?2.求下列各复数的实部和虚部(z=x+iy)
k??1,??n?2k?k??． ⑤解： ∵in??kn?2k?1????1??i,z?a????(a?); z3;??1?i3?;??1?i3?;in. z?a?2??2?① 则
：∵设z=x+iy
33
∴当n?2k时，Re?in????1?k，Im?in??0； 当
kn?2k?1时，
nR?e??i，0Im?in????1?．
3.求下列复数的模和共轭复数
?x?a??iy?z?a?x?iy??a?x?a??iy?????x?a??iy??????22z?a?x?iy??a?x?a??iy?x?a??y ∴
222?z?a?x?a?yRe???2?z?a??x?a??y2?2?i;?3;(2?i)(3?2i);,
①解：?2?i?4?1?5．
?2?i??2?i
?3??3
1?i. 22xy?z?a? Im?． ??22z?a???x?a??y②解：?3?3
②解： 设z=x+iy ∵
z3??x?iy???x?iy??x?iy???x2?y2?2xyi??x?iy?32222?x?x2?y2??2xy2??yx?y?2xy?????i③解：?2?i??3?2i??2?i3?2i?5?13?65．
?2?i??3?2i???2?i???3?2i???2?i???3?2i??4?7i
?x3?3xy2??3x2y?y3?i④解：
1?i1?i2?? 222
∴
Re?z3??x3?3xy2,
Im?z3??3x2y?y3．
?1?i??1?i?1?i ????222??③解： ∵
3?1?i3??1?i3??????28??4、证明：当且仅当z?z时，z才是实数．
??3?1??1?3???1???8????3???1??3??????22?3?
?3?????3 证明：若z?z，设z?x?iy，
则有 x?iy?x?iy，从而有?2y?i?0，即y=0
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∴z=x为实数．
若z=x，x∈?，则z?x?x． ∴z?z． 命题成立．
①解：
3?5i?3?5i??1?7i? ?7i?1?1?7i??1?7i??38?16i19?8i17i??8???e其中??π?arctan． 5025519②解：i?ei??其中??
i?e
iπ25、设z,w∈C，证明： z?w≤z?w
证明∵z?w??z?w???z?w???z?w?z?w
2π． 2??③解：?1?eiπ?eπi
2④解：?8π1?3i?16π???π.
3?z?z?z?w?w?z?w?w
???z?zw?z?w?w?z?w≤2222??2Re?z?w??2
∴?8π1?3i?16π?e3??2?πi3
z?w?2z?w2222π2π???isin? ⑤解：?cos99?? ?z?w?2z?w ??z?w?22π2π??解：∵?cos?isin??1．
99??i?π.3i2π2π???isin??1?e9?e3 ∴?cos99??322π3 ∴z?w≤z?w．
8.计算：(1)i的三次根；(2)-1的三次根；(3) 3?3i的平方根.
⑴i的三次根． 解：
26、设z,w∈C，证明下列不等式．
z?w?z?2Rez?w?w z?w?z?2Rez?w?w
2222??2??2z?w?z?w?2z?w22?22?
并给出最后一个等式的几何解释．
证明：z?w?z?2Rez?w?w在上面第五题的证明已经证明了．
下面证z?w?z?2Rez?w?w．
∵z?w??z?w???z?w???z?w?z?w
?z?z?w?w?z?w2222222??ππ?3?3i??cos?isin??cos22??12kπ?ππ2kπ?2?isin233?k?0,1,2?
??2∴
??z1?cosππ31?isin??i6622．
5531z2?cosπ?isinπ???i
66229931?i z3?cosπ?isinπ??6622⑵-1的三次根 解：
2?z?2Rez?w?w．从而得证．
22??2
∴z?w?z?w?2z?w?22?
几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和．
7.将下列复数表示为指数形式或三角形式
3?5i2π2π??;i;?1;?8π(1?3i);?cos?isin?. 7i?199??33?1??cosπ?isinπ?3?cos12kπ+π2kπ?π?isin33?k?0,1,2?
∴z1?cosπ?isinπ?1?3i
3322 z2?cosπ?isinπ??1
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5513i z3?cosπ?isinπ???3322⑶3?3i的平方根．
πi?22?4 解： 3?3i=6???i?6?e??22???是α-β=90°．
12.指出下列各式中点z所确定的平面图形，并作出草图.
(1)argz?π;(2)z?1?z;(3)1?z?i|?2;(4)Rez?Imz;?k?0,1?
∴
3?3i?
?6?e1π2i4?ππ??2kπ?2kπ???44?6??cos?isin??22?14(5)Imz?1且z?2.解：
(1)、argz=π．表示负实轴．
iππ??∴z1?6??cos?isin??64?e8
88??141π
πi99??z2?6??cosπ?isinπ??64?e8．
88??14199.设z?ei2πn,n?2. 证明：1?z???zn?1?0
i?2πn证明：∵z?e
∴zn?1，即zn?1?0．
(2)、|z-1|=|z|．表示直线z=
1． 2 ∴?z?1??1?z???zn?1??0
又∵n≥2． ∴z≠1
从而1?z?z2+??zn?1?0
11.设?是圆周{z:z?c?r},r?0,a?c?rei?.令
??z?a??, L???z:Im???0?b????其中b?e.求出L?在a切于圆周?的关于?的充分必要条件.
解：如图所示．
(3)、1<|z+i|<2 解：表示以-i为圆心，以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。
i?
?z?a?因为L?={z: Im??=0}表示通过点a且方
?b?
（4）、Re(z)>Imz．
解：表示直线y=x的右下半平面
向与b同向的直线，要使得直线在a处与圆相切，则CA⊥L?．过C作直线平行L?，则有∠BCD=β，∠ACB=90° 故α-β=90°
所以L?在α处切于圆周T的关于β的充要条件
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22u?x?y,v?2xy. 所以
(1) 记w??e，则
轴上从O到4i的一段，即 π0???4,??.2
i?0?r?2,??π4映射成w平面内虚
5、Imz>1，且|z|<2．
解：表示圆盘内的一弓形域。
习题二 1. 求映射
w?z?1z下圆周|z|?2的像. w?u?iv则
π0???,0?r?2i?4(2) 记w??e，则映成了w平面
π0???4,0???.2 上扇形域，即
解：设z?x?iy,
u?iv?x?iy?1x?iyxy?x?iy?2?x?2?i(y?)22x?iyx?yx?yx?2y
2 因为x?y?4,所以53u?xv??y4,4 所以
uvx?5,y?34422u?iv?53x?yi44
(3) 记w?u?iv，则将直线x=a映成了
u?a2?y2,v?2ay.即v2?4a2(a2?u).是以原点为焦
点，张口向左的抛物线将y=b映成了u?x2?b2,v?2xb.
?2u2u所以?524??v??324即?522??v2??322?1222v?4b(b?u)是以原点为焦点， 即张口向右抛物
，表示椭圆.
线如图所示.
2. 在映射w?z下，下列z平面上的图形映射为w平面上的什么图形，设w??e或w?u?iv. （1）
0?r?2,??π4； （2）
i?2π4;
(3) x=a, y=b.(a, b为实数) 0?r?2,0???222解：设w?u?iv?(x?iy)?x?y?2xyi
3. 求下列极限.
1lim2 (1) z??1?z;
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