z?0的任意去心邻域，总包括奇点
所以在
z?1π，当kπ?2k??时，z=0。
sinz?3z所以
z?1315z?z?...11123!5!???z?... 32zz3!5!z?0是奇点,是二级极点.
z?0不是
从而
1cos(1z)的孤立奇点.
解: (2)
z?2kπi(k?0,?1,...)
z?0是奇点,2kπi是一级极点,0是二级极点.
解: (3)
23. 用级数展开法指出函数6sinz3?z3(z6?6)在
z?0处零点的级.
解：
z?0sinz2
z?0?0,?cosz2?2z?0.??4z2?sinz2?2cosz2?2?0的二级零点
f(z)?6sinz3?z3(z6?6)?6sinz3?z9?6z311
?6(z3?z9?z15?...)?z9?6z33!5!故z=0为f(z)的15级零点
24. 判断z?0是否为下列函数的孤立奇点，并确
定奇点的类型：
1/z⑴ e； ⑵
(sinz2)?(sinz2)??z?0z?0z?0是sinz22sinzz??kπiz??kπ是而是的一级零点,
1?cosz z2sinz2一级零点
的
所以
z?0是e的孤立奇点 解:
因为
1z1z?0是?kπi,?kπ是
sinz2的二级极点, 1sinz2的一级极点.
26. 判定z??下列各函数的什么奇点？
⑴ e1/z2111e?1???...??...2nz2!zn!z
1z1zz?0是e的本性奇点. 所以
(2)因为
⑵ cosz?sinz ⑶
122z 23?z1?cosz?z21?1?1214z?z?...1122!4!??z?...
z22!4!z解: (1)当z??时, e?1
1z所以, z??是e的可去奇点.
21?coszz?0所以是z2的可去奇点.
25. 下列函数有些什么奇点？如果是极点，指出其点：
⑴ 解(1)
(2)因为
cosz?sinz?1?121411z?z?...?z?z3?z5?...2!4!3!5!
12131415?1?z?z?z?z?z?...2!3!4!5!11sinz ⑵ ⑶ 2 32zsinzzz(e?1):
所以, z??是cosz?sinz的本性奇点.
(3) 当z??时,
2z?0 23?z 21 / 37
2zz??所以, 是3?z2的可去奇点.
27. 函数f(z)?而z=3在2?z???内，C?1?1,故
1在z?1处有一个二级极
z(z?1)2??Cf(z)dz?2πi?C?1?2πi
习题五 1. 求下列函数的留数．
点，但根据下面罗朗展开式：
1111?????, z?1?1. 2543z(z?1)(z?1)(z?1)(z?1)ez?1??(1)fz?5在z=0处．
zez?1解：5在0<|z|<+∞的罗朗展开式为
zz2z3z41?z??????111111112!3!4!?4??3??2????5zz2!z3!z4!z我们得到“z?1又是f(z)的本性奇点”，这两个结果哪一个是正确的？为什么?
解: 不对, z=1是f(z)的二级极点,不是本性奇点.所给罗朗展开式不是在0?z?1?1内得到的 在0?z?1?1内的罗朗展开式为
111111??????1?(z?1)?(z?1)2?... 222z(z?1)zz?1(z?1)(z?1)z?1?ez?1?11∴Res?5,0???1?
?z?4!24(2)f?z??e解：e11z?1在z=1处．
1z?1在0 ez?1?1?1111111?????????? 23z?12!?z?1?3!?z?1?n!?z?1?n?Cf(z)dz的28.如果C为正向圆周z?3，求积分?值 ?z1?∴Res?e?1,1??1． z1f(z)?f(z)?(1)(z?1)(z?2) z(z?2) (2) 解：（1）先将展开为罗朗级数，得 2. 利用各种方法计算f(z)在有限孤立奇点处的留 数． 3z?2(1)f?z??2 z?z?2?3z?2解：f?z??2的有限孤立奇点处有z=0， ??zz?21111?[?]2z(z?2)2zz(1?)z 1248?(2?3?4?...),2?z???2zzz而z =3在2?z???内，C?1?0,故 z=-2．其中z=0为二级极点z=-2为一级极点． ∴ 113?z?2??3z?24?3z?2???Res?fz,0???lim??lim??1 ??z?2?21!z?0?z?2?z?043z?2 Res?f?z?,?2??lim2??1 z??2z123. 利用罗朗展开式求函数?z?1??sin在∞处的留 z??Cf(z)dz?2πi?C?1?0 z(2)(z?1)(z?2)在2?z???内处处解析，罗朗 展开式为 数． 112解：?z?1??sin??z2?2z?1??sin zz?11111???z2?2z?1?????3??5???5!z?z3!z?z1111?z[?]??(z?1)(z?2)z?1z?21?11?2zz 137??2?3?...,2?z???zzz1 ∴Res?f?z?,0??1? 3!1从而Res?f?z?,????1? 3!5. 计算下列积分． 22 / 37 (1)??tanπzdz，n为正整数，c为|z|=n取正向． c解：??tanπzdz???csinπzdz． ccosπz1??但Res?f?z?,??lim?2?z?1?2zm?5z?2?1?z2???1 3?2m为在c内tanπz有 zk?k?1 (k=0,±1,±2?±(n-1))一级极点 2所以I?iI1?2πi?又因为I1?∴?π11π ??m2i3?23?2m1πsinm?d??0 2??π5?4cos?由于Res??f?z?,zk???∴ sinπz?cosπz??z?2k1?? π0cosm?π d??m5?4cos?3?22π0(2) ?cos3?d?，|a|>1． 1?2acos??a22π?1???tanπzdz?2πi?Res?fz,z??2πi?????2n??4ni ?k????c?π?k解：令 I1??2π0(2) ??dzc?z?i?10?z?1??z?3?1 c:|z|=2取正向． 在c内有z=1，z=-i cos3?d? I2?1?2acos??a22π?0sin3?d? 1?2acos??a2解：因为 ?z?i?10?z?1??z?3?两个奇点． 所以 e3?i I1?iI2??d? 01?2acos??a2z31iθ 令z=e．cos??d??dz，则 2zizz31 I1?iI2???dz?z?1z2?12iz1?2a??a2z1z3??dzi?z?1?az2??a2?1?z?a?11?2π???2πi?Res?f?z?,??32ia?a?a?1?????z?i?cdz10?z?1??z?3??2πi??Res?f?z?,?i??Res?f?z?,1?? ??2πi??Res?f?z?,3??Res?f?z?,?????πi?3?i?106. 计算下列积分． (1)?π0cosm?d? 5?4cos?因被积函数为I?1πcosm?d? 2??π5?4cos?θ的偶函数，所以 2π a3?a2?1???dx(3)?，a>0，b>0． 222???2???x?ax?b1解：令R?z??2，被积函数R(z)在 ?z?a2??z2?b2?得I1?上半平面有一级极点z=ia和ib．故 I?2πi?Res?R?z?,ai??Res?R?z?,bi??11???2πi?lim?z?ai?2222?lim?z?bi?2222??z?a??z?b?z?bi?z?a??z?b???z?ai11???2πi??2222??2ia?b?a?2ib?a?b??π?ab?a?b?令I1?1πsinm?d?则有 2??π5?4cos?1πeim?I?iI1??d? 2?π5?4cos?z2?11设z?e d??dz cos??则 iz2zi?1I?iI1??2?z?1zmdz ?1?z2?iz5?4???2z?1zm??dz2i?z?15?2?1?z2?zm在|z|=1内只有一个 5z?2?1?z2?（4）. ???2x20?x?a?x222dx，a>0． 被积函数f?z??简单极点z?1 2解：???01??x2dx??dx 2???x2?a2?2?x2?a2?2z2令R?z???z?a?222，则z=±ai分别为R(z)的二级 23 / 37 极点 故 ?0x2???x2?a2?dx?21?2πi??Res?R?z?,ai??Res?R?z?,?ai??2?1??e?2??π1?e2izI?Im?2πi?lim?πi??Im?2πi?????πi???1?e?2?． z?iz?z?i?2??2??2??2???z2???z2?????πi?lim??lim?2?2??z?ai??z?ai??z??ai??z?ai????π?2a1az(2)其中T为直线Rez=c, c>0, 0 2πi?Tz2解：在直线z=c+iy (-∞< y <+∞)上，令 zzlnaaef?z??2?2zz????， (5) ?解： ??x?sin?xec?lnaf?c?iy??2c?y2， 0?x2?b2?2xdx，β>0，b>0． ?????f?c?iy?dy????ec?lnady收敛，所以积分c2?y2??????x2?b?22?ei?xdx??x?cos?x???x2?b?22dx?i???x?sin?x???x2?b?22dx ?c?i?c?i?c?i?f?z?dz是存在的，并且 f?z?dz?lim而考知R?z??z?z2?b?22，则R(z)在上半平面有z=bi ?c?i?R???c?iR?c?iRf?z?dz?limR????ABf?z?dz 一个二级极点． ???x???x2?b?22?ei?xdx?2πi?Res?R?z??ei?z,bi? i?z其中AB为复平面从c-iR到c+iR的线段． 考虑函数f(z)沿长方形-R≤x≤c，-R≤y≤R周界的积分．＜如下图＞ ?ze??π???b?2πi?lim???2b?e?iz?bi??z?bi?????x?sin?x???x2?b2?2??0dx?π???b?e 2bdx?π???bπ??e? 4b4be?b从而?x?sin?x?x2?b2?2eix(6) ?dx，a>0 ??x2?a21解：令R?z??2，在上半平面有z=ai一个一级2z?a极点 ?? 因为f(z)在其内仅有一个二级极点z=0，而且 Res?f?z?,0??lim?z2?f?z????lna z?0所以由留数定理． ?????iz?aeixeeπizdx?2πi?Res?R?z??e,ai??2πi?lim?2πi??a22z?aiz?aix?a2aiae?ABf?z?dz??BEf?z?dz??EFf?z?dz??f?z?dz?2πi?lna FA7. 计算下列积分 ??sin2x(1)?dx 20??x1?x1解：令R?z??，则R(z)在实轴上有孤立奇2??z1?z点z=0，作以原点为圆心、r为半径的上半圆周cr，使CR,[-R, -r], Cr,[r, R]构成封闭曲线，此时闭曲线内只有一个奇点i, 于是： ?1??e2ix?1e2iz????I?Im??dx?Im2πi?ResRz,i?limdz???2r?0?crz?1?z2??2??x?1?x??2而 x?Rilnax?lnalnaCC?lnaCeCeeeR????BEf?z?dz??C?x?Ri?2dx≤??Rx2?R2dx≤??RR2dx?R2??C?R?????0． ?R??习题六 1. 求映射w?1下，下列曲线的像. z(1) x2?y2?ax (a?0，为实数) 解：w? u?11xy??2?i=u+iv zx?iyx?y2x2?y2e2izdz???πi． 而lim?cr?0r?1?z2?zxx1??, x2?y2axa故： 11将x2?y2?ax映成直线u?. za(2) y?kx.(k为实数) 所以w? 24 / 37 解： w?u?1xy?2?2i 2zx?yx?y2xx2?y2v??ykx?? x2?y2x2?y2v??ku 1将y?kx映成直线v??ku. z2. 下列区域在指定的映射下映成什么？ 故w? （1）Im(z)?0,w?(1?i)z； 解： w?(1?i)?(x?iy)?(x?y)?i(x+y) u?x?y,v?x?y.u?v??2y?0. 所以Im(w)?Re(w). 故w?(1?i)?z将Im(z)?0,映成Im(w)?Re(w). i. z 解：设z=x+iy, x>0, 0 iii(x?iy)yxw???2??i zx?iyx?y2x2?y2x2?y2(2) Re(z)>0. 0 4. 一个解析函数，所构成的映射在什么条件下具有 2 伸缩率和旋转角的不变性？映射w=z在z平面上每一点都具有这个性质吗？ 答：一个解析函数所构成的映射在导数不为零的条 2 件下具有伸缩率和旋转不变性映射w=z在z=0处导数为零，所以在z=0处不具备这个性质. 5. 求将区域0 6. 试求所有使点?1不动的分式线性变换. 解：设所求分式线性变换为w??1??1.得 az?b(ad-bc?0)由cz?dRe(w)>0. Im(w)>0. 若w=u+iv, 则 y?uv ,x?u2?v2u2?v2u11?1,(u?)2?v2? 2u?v222 ?1??a?b?b?a?c?d ?c?da(z?1)?c?d, cz?da(z?1)?c(z?1), cz?da?c?a?d. c?d因为w?即w?1?因为0 过点z=i且平行于实轴正向的曲线的切线方向映成w平面上哪一个方向？并作图. 解：因为w?=2z,所以w?(i)=2i, |w?|=2, 旋转角argw?= π. 222 令 d ?q，得 c w?1(z?1)(1?q)/(z?q)(z?1)(1?q)z?1 ???a?w?1(z?1)(1?q)/(z?q)?2(z?1)(q?1)z?1其中a为复数. 反之也成立，故所求分式线性映射为w?1z?1， a为复数. ?a?w?1z?1于是, 经过点i且平行实轴正向的向量映成w平面 上过点-1，且方向垂直向上的向量.如图所示. 7. 若分式线性映射，w?az?b将圆周|z|=1映射cz?d成直线则其余数应满足什么条件？ 解：若w?az?bd将圆周|z|=1映成直线，则z??cz?dc映成w??. → 25 / 37 而z??dc落在单位圆周|z|=1,所以