?d?1,|c|=|d|. c数?的几何意义显什么？ 解：因为
(1??z)?(z??)(??)1?|?|2i? w?(z)?e??e?(1???z)2(1??z)2i?故系数应满足ad-bc?0,且|c|=|d|.
z?1作用下，下列集合的像. z?1(1) Re(z)?0; (2) |z|=2; (3) Im(z)>0.
8. 试确定映射，w?解：(1) Re(z)=0是虚轴，即z=iy代入得.
iy?1?(1?iy)2?1?y22yw????i? 22iy?11?y1?y1?y22y?1?y2v?写成参数方程为u?， , 1?y21?y2???y???.
1?|?|21i??e?从而w?(?)?e?
(1?|?|2)21?|?|2i?所以argw?(?)?argei??arg?(1?|?|2)?? 故?表示w?ei??argw?(?).
z??在单位圆内?处的旋转角1??z消去y得，像曲线方程为单位圆,即
u2+v2=1.
(2) |z|=2.是一圆围，令z?2ei?,0???2π.代入得
11. 求将上半平面Im(z)>0,映射成|w|<1单位圆的分式线性变换w=f(z)，并满足条件
1(1) f(i)=0, argf?(i)=0; (2) f(1)=1, f(i)= . 5解：将上半平面Im(z)>0, 映为单位圆|w|<1的一般分式线性映射为w=k?2ei??1化为参数方程. w?i?2e?134sin? u? 0???2π u?5?4cos?5?4cos?消去?得，像曲线方程为一阿波罗斯圆.即
54(u?)2?v2?()2
33 (3) 当Im(z)>0时，即
w?1w?1??z?Im()?0, w?1w?1z??(Im(?)>0). z??(1) 由f(i)=0得?=i，又由argf?(i)?0,即
f?(z)?ei??2i,
(z?i)2令w=u+iv得
w?1(u?1)?iv?2vIm()?Im()??0.
w?1(u?1)?iv(u?1)2?v2即v>0,故Im(z)>0的像为Im(w)>0.
9. 求出一个将右半平面Re(z)>0映射成单位圆|w|<1的分式线性变换.
解：设映射将右半平面z0映射成w=0，则z0关于轴对称点z0的像为w??， 所以所求分式线性变换形式为w?k?常数. 又因为w?k?z?z0z?z0)1i(??ππ
f?(i)?e2?0，得??，所以
22w?i?z?i. z?i(2) 由f(1)=1,得k=
1??1；由f(i)= ,得
51??其中k为
k=i??联立解得
5(i??)w?3z+(5?2i).
(5?2i)z?3z?z0z?z0,而虚轴上的点z对应|w|=1,
不妨设z=0，则
12. 求将|z|<1映射成|w|<1的分式线性变换w=f(z)，并满足条件：
i?w?k?z?z0z?z0?|k|?1?k?e(??R)
(1) f(1)=0, f(-1)=1. 2 (2) f(1)=0, argf?(12)?2故w?ei??z?z0z?z0(Re(z0)?0).
π, 210. 映射w?ei??z??将|z|?1映射成|w|?1,实
1???z(3) f(a)=a, argf?(a)??.
解：将单位圆|z|<1映成单位圆|w|<1的分式线性映
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射，为 w?ei?z?? , |?|<1.
1???z1.又由f(-1)=1，知 2w?01?i?0z?0i?0∶=∶ w?21?i?2z?2i?1w1?i?2zi?1.=. w?21?iz?1i(1) 由f(1)=0，知??2i?w??4z.
(i?1)z?(1?i)?1?1i?i?2e??e(?1)?1?e??1???π.
11?2z?12z?12故w??1?. ?z1?2z?2(2) 由f(1)=0，知??2i?f?(1)?e214. 求出将圆环域2<|z|<5映射为圆环域4<|w|<10
且使f(5)=-4的分式线性映射.
解：因为z=5,-5,-2,2映为w=-4,4,10,-10,由交比不变性，有
5?4z1i?，又w??e? 22(2?z)2?5?2?5?10?410?4∶=∶ 2?5?2?5?10?410?4故w=f(z)应为
4π???argf?(1)?， 232z?12z?12于是 w?e(. )?i?z1?22?ziπ2z?5?2?5w?410?4∶=∶ z?5?2?5w?410?5w?4z?520?w??. 即 =?w?4z?5z讨论求得映射是否合乎要求，由于w=f(z)将|z|=2映为|w|=10，且将z=5映为w=-4.所以|z|>2映为|w|<10.又w=f(z)将|z|=5映为|w|=4，将z=2映为w=-10，所以将|z|<5映为|w|>4，由此确认，此函数合乎要求.
15.映射w?z2将
(3) 先求?=?(z)，使z=a???0，arg??(a)??,且|z|<1映成|?|<1. 则可知 ?=?(z)=e?i?z平面上的曲线
z?a
1?a?z再求w=g(?)，使?=0?w=a, argg?(0)?0,且|?|<1映成|w|<1.
先求其反函数?=?(w),它使|w|<1映为|?|<1,w=a映为?=0，且
1?1?2映射到w平面上的什么曲线？ x??y???2?4?解：略.
z16. 映射w=e将下列区域映为什么图形. (1) 直线网Re(z)=C1,Im(z)=C2;
(2) 带形区域??Im(z)??,0?????2π; (3) 半带形区域
2Re(z)?0,0?Im(z)??,0???2π.
arg??(w)?arg(1/g?(0))?0,则
解：（1） 令z=x+iy, Re(z)=C1,
w?a ?=?(w)=.
1?a?w因此，所求w由等式给出.
z=C1+iy?w=eC1?eiy, Im(z)=C2,则
z=x+iC2?w=ex?eiC2
z故w=e将直线Re(z)映成圆周
w?az?a=ei??.
1?a?w1?a?z13. 求将顶点在0，1，i的三角形式的内部映射为
顶点依次为0，2，1+i的三角形的内部的分式线性映射.
解：直接用交比不变性公式即可求得
??eC；直线
1Im(z)=C2映为射线??C2. （2） 令
z=x+iy，??y??,则
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w=ez?ex?iy?ex?eiy,??y??
故w=ez将带形区域??Im(z)??映为
为去上半单位圆内部的上半平面；再用w4?lnw3将区域映为半带形0
w?2w4?iπ映为所求区域，故
??argw(??)的张角为???的角形区域.
（3） 令z=x+iy，x>0，0 w=ez?ex?eiy(x?0,0?y??)?ex?1,0?argw?? ez?1w?lnz. e?119. 求将Im(z)<1去掉单位圆|z|<1保形映射为上半平面Im(w)>0的映射. 解：略. 20. 映射w?cozs将半带形区域0 因为 w?cosz?可以分解为 故w=ez将半带形区域Re(z)>0,0 0???2π映为 |w|>1, 0?argw??(0???2π). 17. 求将单位圆的外部|z|>1保形映射为全平面除去线段-1 1将|z|>1映为|w1|<1,再用分式z1iz(e?e?iz) 2w2??i?w1?1将|w1|<1映为上半平面Im(w2)>0, w1?1w1=iz ，w2?ew1，w3?(w2?121) w2π，映为2由于w?cosz在所给区域单叶解析，所以 （1） w1=iz将半带域旋转0 （2） w2?ew1将区域映为单位圆的上半圆内部|w2|<1,Im(w2)>0. 然后用幂函数w3?w22映为有割痕为正实轴的全平 w?1面，最后用分式线性映射w?3将区域映为有割 w3?1痕[-1,1]的全平面. 故 ?1??w1?1?z?1?i??1?1??1??w3?1w22?1?w1?1?11. ?z?1?w??2???(z?)21w3?1w2?1?w?1?22z?z?1?1?i??1???1??1w?1?1??z?1?18. 求出将割去负实轴???Re(z)?0,Im(z)=0的 22（3） w?Im(w)<0. 11(w2?)将区域映为下半平面2w2习题 七 1.证明：如果f(t)满足傅里叶变换的条件，当f(t)为奇函数时，则有 ππ带形区域??Im(z)?映射为半带形区域 22?π?Im(w)?π,Re(w)>0的映射. 解：用w1?e将区域映为有割痕(0,1)的右半平面 zf(t)??b(?)?sin?td? 0??其中b(?)?当 2??f?t??sin?tdt π?0为 偶 函 数 时 ， 则 有 f(t) ??0f(t)??a(w)?cos?td? 其中a(?)?证明： ?02w?1Re(w1)>0；再用w2?ln1将半平面映为有割痕 w1?1(-?,-1]的单位圆外域；又用w3?iw2将区域映???f(t)?cos?tdt 1??G(?)ei?td?其中G(?)为f(t)因为f(t)??2π??的傅里叶变换 28 / 37 G(?)????????f(t)e?i?tdt??????f(t)?(cos?t?isin?t)dt ??F?f?(?)????6π?6π????f(t)?e?i?tdt??6π?6πsint?e?i?tdt ????f(t)?cos?tdt?i???f(t)?sin?tdt sint?(cos?t?isin?t)dt6π0当f(t)为奇函数时，f(t)?cos?t为奇函数，从而 ??2i?sint?sin?tdt?isin6π?π(1??2)?t?????f(t)?cos?tdt?0 4.求下列函数的傅里叶变换 (1)f(t)?e解： F?f?(?)??0??????f(t)?sin?t为偶函数，从而 ?????f(t)?sin?tdt?2?f(t)?sin?tdt. 0??故G(?)??2i???0f(t)?sin?tdt. 有 f(t)e?i?tdt??e?|t|?e?i?tdt??e?(|t|?i?t)dt??????0??????et(1?i?)dt??e?t(1?i?)dt?G(??)??G(?)为奇数。 1f(t)?2?1???G(?)?ed??2???i?t21??2 ???G(?)?(cos?t?isin?t)d? ??(2) f(t)?t?e?t22 解：因为 ????=1?G(?)?isin?td??i?G(?)?sin?td? 2π??π0F[e?t]?π?e??24.而(e?t)/?e?t?(?2t)??2t?e?t. 222所以，当f(t)为奇函数时，有 f(t)????0所以根据傅里叶变换的微分性质可得 2??f(t)?sin?tdt.π?0b(?)?sin?td?.其中b(?)=同理，当f(t)为偶函数时，有 π???4?tG(?)?F(t?e)??e 2i22f(t)??a(?)?cos?td?.其中 0??(3)f(t)?解： sinπt 1?t2??2??a(?)??f(t)?cos?tdt π02??t,2.在上一题中，设f(t)????0,t?1t?1G(?)?F(f)(?)????sinπt?i?t?edt1?t2.计算a(?)的 ??????sinπt?(cos?t?isin?t)dt1?t2值. 解: 2??2122??f(t)?cos?tdt?t?cos?tdt?0?cos?tdtπ?0π?0π?121211??t2?cos?tdt???t2d(sin?t)π0π?0 12122??t?sin?t?sin?t?2tdt0π??0π?a(?)?2sin?41??2?t?d(cos?t)π???012sin?41??2?t?cos?t0??cos?tdt??0??π????2sin?4cos?4sin????23?1?[cos(π??)t?cos(π??)t]??sinπt?sin?t??2??i?dt??2i?dt2??01?t1?t2??cos(π+?)t??cos(π-?)t?i?dt?i?01?t2dt(利用留数定理)01?t2?i??sin?,当|?|?π??2??0,当|?|?π. (4)f(t)?解: 1 1?t4G(?)?????????sint,t?6π3.计算函数f(t)??的傅里叶变换. ???0,t?6π解: ??cos?t??sin?t1?i?tedt?dt?i???1?t4???1?t4dt??1?t4??cos?t??cos?t?2?dt????1?t4dt01?t4??令R(z)=1，则R(z)在上半平面有两个一级极1?z4 29 / 37 22点(1?i),(?1?i). 222i?z2R(t)?edt?2πi?Res[R(z)?e,(1?i)]?2πi?Res[R(z)?e,(?1?i)] ???22故. ??i?ti?z故： F[sgn(t)]?F(u(t))?F(u(?t))??22?π??(?)??(??)??i?i?11?π??(?)?[?π??(??)]iπi(??) ?????i?t??ecos?t1?|?|/2|?||?| dt?Re[dt]?e(cos?sin)???1?t41?t422227.已知函数f(t)的傅里叶变换 (5) f(t)?解: t 41?tF(?)=π??(???0)??(???0)?,求f(t) 解: G(?)????t?e?i?tdt4??1?t??f(t)?F-1(F(?))=1??i?tπ??(???)??(???)ed???002π???????t?sin?tt???cos?tdt?i?dt ??1?t4??1?t4??t?sin?t??i?dt??1?t4而F(cos?0t)=?cos?0t?e?i?tdt??ei?0t?e?i?0t?i?0t???edt??2?π[?(???0)??(???0)]?? 所以f(t)?cos?0t同(4).利用留数在积分中的应用,令R(z)=则 z 1?z48.设函数f(t)的傅里叶变换F(?)，a为一常数. 证明 ?i?????i???e?|?|/2i?t??t?et?sin?tdt?(?i)Im(?dt)??1?t41?t4. 2?[f(at)](?)?1???F??. a?a?1??f(at)?e?i?td(at) ?a???sin?25.设函数F(t)是解析函数，而且在带形区域 解:F[f(at)](?)??????f(at)?e?i?tdt?Im(t)??内有界.定义函数GL(?)为 L/2当a>0时,令u=at.则 u?i?1??1???F[f(at)](?)??f(u)?eadu?F?? a??a?a?GL(?)?证明当L??时，有 ?L/2?F(t)e?i?tdt. 当a<0时,令u=at,则F[f(at)](?)??故原命题成立. 9.设F????F?f????;证明 1i?tp.v.G(?)ed??F(t) L?2π?? 对所有的实数t成立. (书上有推理过程) ?1?F(). aat??1,t?06.求符号函数 sgnt?的傅里叶??|t|?1,t?0变换. 解: 因 为 F?????F?f??t?????. 证明： F?f??t???????f??t??e?i?tdt???f?u??ei?udu???????? 1Fu(t?(?)π??)(?i???f?u??e??????i????u??du??f?u??e??i(??)?u?du????)把.函 数 ??f?t??e??i?????t?dt?F????.??10.设F????F?f????，证明： ??sgn(t)与u(t)作比较. 不难看出 sgn(t)?u(t)?u(?t). 30 / 37