因为所有的自然数都在这三类之中，所以对所有的自然数n，（n2＋n＋2）都不能被3整除。
练习21
1.将6拆成两个或两个以上的自然数之和，共有多少种不同拆法？
2.小明有10块糖，如果每天至少吃3块，吃完为止，那么共有多少种不同的吃法？
3.用五个1×2的小矩形纸片覆盖右图的2×5的大矩形，共有多少种不同盖法？
4.15个球分成数量不同的四堆，数量最多的一堆至少有多少个球？
5.数数右图中共有多少个三角形？
6.甲、乙比赛乒乓球，五局三胜。已知甲胜了第一盘，并最终获胜。问：各盘的胜负情况有多少种可能？
7.经理有4封信先后交给打字员，要求打字员总是先打最近接到的信，比如打完第3封信时第4封信还未到，此时如果第2封信还未打完，那么就应先打第2封信而不能打第1封信。打字员打完这4封信的先后顺序有多少种可能？
例13 有三组小朋友共72人，第一次从第一组里把与第二组同样多的人数并入第二组;第二次从第二组里把与第三组同样多的人数并入第三组;第三次从第三组里把与第一组同样多的人数并入第一组。这时，三组的人数一样多。问原来各组有多少个小朋友?(适于五年级程度)
解：三个小组共72人，第三次并入后三个小组人数相等，都是72÷3=24(人)。在这以前，即第三组未把与第一组同样多的人数并入第一组时，第一组应是24÷2=12(人)，第三组应是(24+12)=36(人)，第二组人数仍为24人;在第二次第二组未把与第三组同样多的人数并入第三组之前，第三组应为36÷2=18(人)，第二组应为(24+18)=42(人)，第一组人数仍是12人;在第一次第一组未把与第二组同样多的人数并入第二组之前，第二组的人数应为42÷2=21(人)，第一组人数应为12+21=33(人)，第三组应为18人。
这33人、21人、18人分别为第一、二、三组原有的人数，列表3-6。
表3-6
答：第一、二、三组原有小朋友分别是33人、21人、 18人
【题目】：
把10只鸽子关在3个同样的笼子里，使得每个笼子里都有鸽子，可以有多少种不同的放法？
【解析】：
这里笼子都是同样的，因此3只笼子是无序的。
因为10÷3=3??1，根据题中条件，可得鸽子最少的那个笼子里的鸽子不多于3只，不少于1只，我们可以这样分为三类：
一、鸽子最少的那个笼子里有1只鸽子，共有4种放法：①1只、1只、8只；②1只、2只、7只；③1只、3只、6只；④1只、4只、5只。
二、鸽子最少的那个笼子里有2只鸽子，共有3种放法：①2只、2只、6只；②2只、3只、5只；③2只、4只、4只。
三、鸽子最少的那个笼子里有3只鸽子，共有1种放法：①3只、3只、4只。 所以共有放法：4+3+1=8（只）。
《奥赛天天练》第7讲，拓展提高，习题1 【题目】：
有一架天平和三只重量分别为1克，3克，6克的砝码，你知道用这架天平和这些砝码共能称出多少种重量吗？
【解析】：
这一题要在孩子学习了三上第三单元，认识了常见的称和质量单位后，再学习比较合适。如果超前完成，需要对孩子介绍一下天平的用法。
因为1克+3克+6克=10克，所以这架天平最重能称出10克，最轻能称出1克。因此这架天平最多能称出1克到10克之间的10种不同重量的物体，然后我们再对这10类情况进行验证：
①天平左边：物体 右边：1克砝码 能称出1克重的物体；
②天平左边：物体+1克砝码 右边：3克砝码 能称出2克重的物体； ③天平左边：物体 右边：3克砝码 能称出3克重的物体；
④天平左边：物体 右边：3克砝码+1克砝码 能称出4克重的物体； ⑤天平左边：物体+1克砝码 右边：6克砝码 能称出5克重的物体； ⑥天平左边：物体 右边：6克砝码 能称出6克重的物体；
⑦天平左边：物体 右边：6克砝码+1克砝码 能称出7克重的物体；
⑧天平左边：物体+1克砝码 右边：6克砝码+3克砝码 能称出8克重的物体； ⑨天平左边：物体 右边：6克砝码+3克砝码 能称出9克重的物体；
⑩天平左边：物体 右边：6克砝码+3克砝码+1克砝码 能称出10克重的物体。
在列举的过程中可以让孩子慢慢的领悟规律：有1克和3克的砝码，不仅可以称出1克和3克重的物体，还可以称出重量是1克和3克的和或差的物体，依此类推。
所以这架天平最多能称出10种不同重量的物体。 《奥赛天天练》第7讲，拓展提高，习题2 【题目】：
1997 的数字和是1+9+9+7=26，在小于2000的四位数中，数字和为26的除了1997外还有几个？
【解析】：
小于2000的四位数都是一千多，千位上都是1。数字和为26，26-1=25，个、十、百三位上的数字和为25。25-9-9=7，因此三个数位上数字最小不能小于7，最大不能大于9。我们根据百位上数字的大小分为三类：
一、百位上数字是7，有1个：1799； 二、百位上数字是8，有2个：1889、1898；
三、百位上数字是9，有3个：1979、1988、1997；（千位和百位上的数字确定后，十位上数字再按从小到大枚举出所有情况。）
所以符合条件的数共有6个，除了1997外，还有5个。