第三章习题解答
1.试讨论a取什么值时，下列线性方程组有解，并求出解 。
?ax1?x2?x3?1?(1)?x1?ax2?x3?1?x?x?ax?123?1?ax1?x2?x3?1?(2)?x1?ax2?x3?a ?2?x1?x2?ax3?a?a111??1001/(a?2)????? 解：(1)A?1a11 经初等行变换化为0101/(a?2) ???????11a1???0011/(a?2)??当a??2时，方程组有解，解为x?(111T,,). a?2a?2a?2?(a?1)/(a?2)??a111??100???? (2)A?1a1a 经初等行变换化为0101/(a?2)????22???11aa???001(a?2a?1)/(a?2)??a?11a2?2a?1T,,). 当a??2时，方程组有解，解为x?(?a?2a?2a?2
2.证明下列方程组Ax=b
?3x1?2x2?x3?4x4?b1??x1?x2?3x3?x4?b2 ??2x1?x2?3x3?b3??x?8x?5x?b344?2当（1）b?(10,?4,16,3)T.时无解；（2）b?(2,3,1,3)T.时有无穷多组解。 解：(1) r(A)=3?r(A,b)=4 当b?(10,?4,16,3)T.时无解；
(2) r(A)=3,r(A,b)=3 当b?(2,3,1,3)T.时有无穷多组解。
3.用列主元高斯消元法求解Ax=b
?223??3??123??1??,b??1? (2)A??234?,b???1? (1)A??477??????????????245????7???346???2??
(1)x=(2,-2,1)T (2)x=(0,-7,5)T
4.证明上（下）三角方阵的逆矩阵任是上（下）三角方阵。 证明：设A?aij是上（下）三角方阵，即aij?0,i?j 设A的逆为B?bij,bij?????AjiA,其中Aji为aji的代数余子式，
由于A?aij是上三角方阵，所以Aij?0,i?j 当i?j时，bij???AjiA?0,所以B为上三角方阵。
5.用Gauss-Jordan法求解下列矩阵的逆矩阵。
?1 2 0 ?? (1)A??2 1 -1 ????3 1 1 ??解(1)
?1 2 0 1 0 0??1 0 0 -0.25 0.25 0.2500??2 1 -1 0 1 0???0 1 0 0.625 -0.125 -0.1250???????3 1 1 0 0 1????0 0 1 0.125 -0.625 0.3750??? -0.25 0.25 0.2500??A?1?? 0.625 -0.125 -0.1250???? 0.125 -0.625 0.3750??
?126??，试对A进行cholesky分解A=LLT,并利用分解因25156.以已知矩阵A=?11
????61546??子阵L1求A的逆矩阵A-1=(L-1)T(L-1).
?126??l110?=?l2515解: A=????21l22??l31l32?61546???0?0??l33???l11l12?0l22???00l13?l23?? l33??j=1时,l11=1,l21=2, l 31=6
j=2时, l 22=a22?L221=1, l 32=(a32- l 31 l 21)/ l 32=3;
2j=3时, l 33=a33?L231?L32=1 ?100??100?? L-1=??210? 210?L=????????631???0?31?????5?20??1?20??1?=??210?3? ? ??2101?3A-1=(L-1)T(L-1)=?????????001????0?31????0?31??
7.已知线性方程组
?2?10??x1??3???x????3?(1)??12?1???2???
??0?12????1???x3????5 -4 1 0??x1??2??-4 6 -4 1??x???1???2???? (2)??1 -4 6 -4??x3???1???????0 1 -4 5???x4??2?试用Cholesky分解A?L1LT（1），用对称分解A?LDLT求解问题（2）。 1求解问题解:
?2?10??1.4142 0 0?(8)????12?1 A=???=?-0.7071 1.2247 0 ??? 0 -0.8165 1.1547???0?12????1.4142 -0.7071 0?? 0 1.2247 -0.8165?=LLT ???? 0 0 1.1547??解Ly=b, 得 y=[2.1213,-1.2247,-0.0000]T
解LTx=y 得 x=[1,-1,0] T
（2）
?5 -4 1 0??1.0000 0 0 0??-4 6 -4 1???-0.8000 1.0000 0 0?=?? A=??1 -4 6 -4??0.2000 -1.1429 1.0000 0?????0 1 -4 5??? 0 0.3571 -1.3333 1.0000??5.0003 0 0 0?? 0 2.8001 0 0??? 0 0 2.1430 0??? 0 0 0 0.8334????1.0000 -0.8000 0.2000 0?? 0 1.0000 -1.1429 0.3571???=LDLT ? 0 0 1.0000 -1.3333?? 0 0 0 1.0000???解Lz=b, 得 z=[ 2.0000,0.6000,-0.7143, 0.8334]T
解Dy=z, 得 y=[ 0.4000,0.2143,-0.3333,0.9999] T 解LTx=y 得 x=[1,1,1,1] T
8．设A是对称正定阵，试证明不选主元的Cholesky分解A?L1LT1的计算过程是数值稳定的。 证明：
于是有l2jk?ajj，j?2,3,...,n;k?1,2,...,j.j?1,l11?a11,li1?ai1/l11,i?2,3,...,n
综合以上得到结论：在Cholesky分解中，不选主元的计算分解式的元素能得到控制，且ljj(j?2,3,...,n)恒ljk(j?2,3,...,n;k?1,2,...,j)的数量级不会增长，
正，因此，这是一个节省储存且计算过程是数值稳定的方法。
9. 求解以下三对角方程组
?2 -1 0 0??x1??1??-1 2 -1 0??x??2???2???? (1)??0 -1 2 -1??x3???2????????0 0 -1 2??x4???1??2 -1 0 0??x1??1??-1 2 -1 0??x??2???2???? (2)??0 0 2 -1??x3???2???????0 0 -1 2???x4???1?(1)
?2 -1 0 0?? 1 0 0 0??-1 2 -1 0???-0.5 1 0 0?=??解: A=??0 -1 2 -1?? 0 -0.6667 1 0?????0 0 -1 2??? 0 0 -0.75 1??2 -1 0 0??0 1.4999 -1 0???=LU ?0 0 1.3333 -1??0 0 0 1.25???解Ly=b, 得 y=[1.0000，2.4999，-0.3333，-1.2500]T
解Ux=y 得 x=[1,1，-1,-1] T (2)
?2 -1 0 0?? 1 0 0 0??-1 2 -1 0??-0.5 1 0 0????解: A==??0 0 2 -1?? 0 0 1 0?????0 0 -1 2??? 0 0 -0.5 1??2 -1 0 0??0 1.5 -1 0???=LU ?0 0 2 -1??0 0 0 1.5???解Ly=b, 得 y=[1，2.5，-2，-2]T
解Ux=y 得 x=[0.7778，0.5556，-1.6667，-1.3333] T
??B1C1?B?2C210. 已知A为块三对角阵,A非奇异，A=?A2???????，???C? m?1???AmBm??其中Bi均为方阵(i?1,2,?,m),设A有分块LU分解式??B1C1???A??L1??2B2C2L2????R2??????R??IU1IU23??????C???m?1??????????????AmBm????RmLm????试证明：（1）Ri?Ai(i?2,3,...,m)（2）L11?B1U1?L?1C1（3）L
i?Bi?AUii?1(i?2,3,...,m)（4）U1i?L?iCi(i?2,3,...,m)证：
?B1?L1,A2?R2,C1?L1U1,Bi?RiUi?1?Li,Ai?Ri,Ci?LiUi,?LB11?1U1?L?1C1R)
i?Ai(i?2,3,...,mLi?Bi?AiUi?1(i?2,3,...,m)U1i?L?iCi(i?2,3,...,m)??2 -1 0 2???x1??111．试求解周期三对角方程组???0 -1 2 -1???-1 2 -1 0??x??2?x???2?? 3??? 2 0 -1 2????x????2??1?4?解：U?(?2,0,0,2)T,V?(1,0,0,?1)T
??4 -1 0 0?A??-1 2 -1 0??? ?0 -1 2 -1??0 0 -1 4??解AW=d=(1,2,-2,1)T得W=(0.4545 0.8182 -0.8182 -0.4545)T解AZ=U=(-2,0,0,2)T得Z=(-0.5455 -0.1818 0.1818 0.5455)T????U?m?1?I??