?VTW?T x?W??Z?(-5.0000 -1.0000 1.0000 5.0000)?T?1?(VZ)??12?12．已知A??,试计算cond(A)1,cond(A)2,cond(A)? ??34?解：cond(A)1?21,cond(A)2?14.9330,cond(A)??21
1??1?,n为正整数，求A?1,cond(A),limcond(A). 13．已知An??1nn?n?n???11??n??? -n+1 n??1解：An???, n -n??
cond(An)??4n,limcond(An)???
n???1105??105?14. 设方程组Ax=b，其中A=??，b=??
?11??1?① 计算cond(A)?，判断方程组是否病态。 ② 用全主元消元法求解，结果如何？
③ 用105除第一个方程所得方程组是否病态？ 解： ① A?1?10+1 又 A?1?1055
?1?1?105???
1???1A?1?1?105? ?1?105?1cond(A)?=A?A该方程组是病态
1?105(1?105)2=（1+10）?=〉〉1 55??1?10?1?105
?1051??x2??105?② 用全主元消元法求解。???x?=??
?11??1??1?(1?105)2〉〉1 cond(A)?=5?1?10出现大数吃小数的现象，结果失真。
?10?5③ 用10除第一个方程得：A1=??15
1?? 1?A1??2,A1?1??42，= cond(A)?105?1105?1方程组是良态的。
15．设n阶对角矩阵A?diag(1,10?1,?,10?1),试计算det(A)和 cond(A)2结果说明什么。
解：det(A)?10?n?1,cond(A)2?1
行列式小并不能说明矩阵是病态的。
16. 已知x?（2.0，0.1）T是以下方程组的计算解，x*=（1.0，1.0）T是精确解，
*x?xr3x?3x?6?121 求剩余r，cond(A)，1，并分析此结果。 ?*b4x?5x?9x2?111?33??20?T解：（1） r?b?Ax?(6,9)T?? ?(?0.3,0.5)????45??10??5/3?1?（2） A??? ?4/31???1A?11?54??3 33A1?8
cond(A)1?A1A?1?8?3?24
1??0.3?（3） r?? r1?0.8 b1?15 ??0.5?r1b1?0.8?0.053 15TTT（4） x?x*??2.00.1???1.01.0???1.0?0.9?
x?x*x*11?1.9?21
?1.9?0.952x?x*x*1由计算可知道，该方程组是病态的，相对剩余量为0.053，相对误差为0.95。由于相对误差很大，所以相对剩余量虽小，并不能 反映近似解x的近似程度。
?2 -1 7??10?17．有线性方程组Ax=b，其中A=??0 3 10?,b?????? 7??
?0 4 5??? 1?? 试对A作QR分解（不限方法），并利用A的QR分解求解此方程组。 解:
?1 0 0??2 -1 7?Q=??0 -0.6 -0.8?,R?????0 -5 -10? ?0 -0.8 0.6???0 0 -5????解Qy=b, 得 y=[ 10 -5 -5]T 解Rx=y 得 x=[ 1 -1 1] T
18. 设A?Rn?n非奇异，有扰动?A使A?A??A，若x是方程组Ax?b的解，是方程组Ax?b的解，，试证明：x?xx?cond(A)?AA
证明：
??Ax?b???Ax?b?(A??A)x?b?Ax?b?(A??A)x?Ax?0??Ax?Ax???Ax?A(x?x)???Ax?(x?x)?A?1(??Ax)?
x?x?A?1?Ax?x?x?1x?A?A?A?1A?AA?cond(A)?AA? 1 -0.5 -0.5?? 2 -1 0?19．设方程组的系数矩阵分别为A1??? -0.5 1 -0.5?,A2?????? -3 3 -1??
? -0.5 -0.5 1??? 0 -1 2??考察求解此方程组的 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的收敛性。 ? 0 -0.5 -0.5?解：(1)BJ??? -0.5 0 -0.5?,???(BJ)?1,Jacobi迭代不收敛。
? -0.5 -0.5 0??? 0 -0.5 -0.5?B?G??? 0 0.25 -0.25,?(B)?0.3536, Gauss-Seidel迭代收敛。 ??G? 0 0.125 0.375??? 0 0.5 0?(2)B?J??? 1 0 0.3333,?(BJ)?0.8165,Jacobi迭代收敛。 ? 0 0.5 0????x? 0 0.5 0??,?(B)?0.6667, Gauss-Seidel迭代收敛。 BG?? 0 0.5 0.3333G???? 0 0.25 0.1667??
?3x1?10x2??720．设方程组?
9x?4x?52?1① 若用Jacobi迭代法和Gauss?Seidel迭代法求解方程组是否收敛？
② 若将方程组交换方程次序如何？ 解：
?3?10??30??00??010?① A??? ?D??0?4? U??00? L???90? 9?4???????? 用Jacobi迭代法：
?010/3? BJ=D-1（L+U）=? ?0??9/4?10/3??? det(?I?BJ)????2?15/2 ?????9/4 ??1,2??15/2
??(BJ)??max?15/2?1 所以Jacobi迭代法发散。 Gauss?Seidel迭代法：
?010/3?BG=（D-L）-1U=? ??015/2?det(?I?BG)???10/3??(??15/2)0??15/2??1?0,?2?15/2??(BG)??max?15/2?1
所以Gauss?Seidel迭代法发散。 ②交换次序，则
?04??00??9?4??90? A??? ?D??0?10? U??00? L???30? 3?10????????用Jacobi迭代法：
4/9??0 BJ=D-1（L+U）=? ??3/100??14/9???2 det(?I?BJ)?????2/15 ?????3/10 ??1,2??2/15
??(BJ)??max?2/15?1 所以Jacobi迭代法收敛。 Gauss?Seidel迭代法：
?04/9?BG=（D-L）-1U=? ??02/15?det(?I?BG)???4/9??(??2/15)0??2/15??1?0,?2?2/15??(BG)??max?2/15?1
所以Gauss?Seidel迭代法收敛。
?20x1?2x2?3x3?24?21. 已知方程组?x1?8x2?x3?12
?2x?3x?15x?3023?1
若用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解，取初值x(0)?(0,0,0)T，需要迭代多少次上述两种方法的误差小于10?6。 解：
? 0 -0.1 -0.150??BJ?? -0.1250 0 -0.125???? -0.1333 0.2 0??ln(?k?1?Bx(1)?x(0)lnB)?11.3865
Jacobi迭代至少需要迭代12次。
? 0 -0.1000 -0.1500??,BG?? 0 0.0125 -0.1063???? 0 0.0158 -0.0013??ln(?k?1?Bx(1)?x(0)lnB)?9.3629
Gauss-Seidel迭代至少需要迭代10次。
22 .根据Gauss-Seidel迭代格式用松弛因子?加速收敛的方法，同样对 Jacobi迭代法也用松弛因子?加速，给出迭代计算的分量形式和矩阵表达式。 解：(1)用Jacobi迭代法计算x(k?1)