a1n(k)b1a12(k)a13(k)?(k?1)x??x?x???x??1a112a113a11na11??(k?1)a2n(k)b2a21(k)a23(k)x??x?x???xn??213a22a22a22a22 ????an1(k)an2(k)ann?1(k)bn?(k?1)x??x?x???x??nann1ann2annn?1ann?(2)引入松弛因子?，x(k?1)i??xi(k?1)?(1??)x,(k)ii?1,2,...,nn
整理得分量形式
xi矩阵形式
(k?1)?xi(k)?（bi??aijx(jk)),aiij?1?i?1,2,?,n
x(k?1)?Bx(k)?g迭代矩阵B?D?1(D??A) 右端向量g??D?1b
?1a?23. 已知A??试分别导出求解Ax?b的Jacobi迭代法和Gauss?Seidel??2a1?迭代法收敛的充要条件。 解：
0??1a??10??0?0?a? A???D?L?U?????????2a1??01???2a0??00?用Jacobi迭代法：
?a??0BJ=D-1（L+U）=?? ?2a0????a?22 det(?I?BJ)?????2a??2a????1,2??2a
??(BJ)??max?2a?1 时方程组收敛，条件是：?2/2?a?2/2
Gauss?Seidel迭代法：
?0?a?BG=（D-L）-1U=? 2??02a?det(?I?BG)??a0??2a2??(??2a2)??1?0,?2?2a2??(BG)??max?2a2?1
时方程组收敛，条件是：?2/2?a?2/2
24. 设A为对称正定阵，其特征值?1??2????n?0，试证明：当?满足（k?0,1,2,?）是收敛的？ 0???2/?1时，迭代格式x(k?1)?x(k)??(b?Ax(k))，证明：
x(k?1)?x(k)??(b?Ax(k))?x(k?1)?(I??A)x(k)??b
由于?1,?2,?,?n是A的特征值，则I??A的特征值为1???1,1???2,?,1???n 当?(B)??max?max1???i?1时收敛， 此时则有：0???1?2?0???2/?1
?32??3?已知A??，b?,用迭代公式x(k?1)?x(k)??(Ax(k)?b),(k?0,1,...)???25． ?12???1?求解Ax?b。问?取什么实数可使迭代收敛，且?为何值时，收敛最快。解：(1)?I?A???3?1?2??2?5??4?(??1)(??4) ??2A的特征值为?1?1,?2?4,迭代矩阵B?I??A的特征值为?1?1??,?2?1?4?,1???1??1?1???1??2???0,1?4??1??1?1?4??1??当?1???0,2
1???0时，迭代格式收敛。22,5(2)1???1?4???(1??)?1?4??5???2????当???2时，收敛最快。526.设A?Rn?n是严格对角占优阵，试证明用SOR方法求解Ax=b，取0???1时是收敛的。
证明：SOR迭代法的迭代矩阵为B??(D??L)?1(?U?(1??)D)
反证,设B?有特征值??1,由B?x??x,方程组(?I?B?)x?0有非零解,于是有 det(?I?B?)?det[?I?(D??L)?1(?U?(1??)D)]?0上式可改写为det(D??L)?1?det(?(D??L)??U?(1??D))?0已知A严格对角占优,A的对角元非零, 故det(D??L)?1?0，只有det(?(D??L)??U?(1??D))?0?det((????1)D???L??U)?0?det(D???? ????1L?????1U)?0设 ??a?bi,???1,?a2?b2?1
?a2?b2??1?????a2?b2???a2?b2??
?a2???2a?1???2a?(??1)(a2?b2)(?2?1)?2a(??1)?(??1)2?2(a2?b2)?a2?b2?2a(??1)?(??1)2?(a???1)2?b2 ?2(a2?b2)(a???1)2?b2?1即
??????1?1
又
?????1???????1?1
由A严格对角占优可推出(D???????1L??????1U)也严格对角占优,是非奇异阵,应有det(D???????1L??????1U)?0，与所设矛盾,
故B?的特征值??1,即?(B?)?1,所以SOR法当0???1时是收敛的。
? 3 2 0 ?27.设有方程组?? 2 3 -1??x1??4.5?? 0 -1 2????x?2????5?? ????x3????0.5??（1）写出用SOR方法求解的分量计算式；
（2）求出最佳松弛因子?opt?2/(1?1??2(BJ))；并用?opt计算两步，x(0)?(0,0,0)T。
取
??(k?1)(k)(k)(k)x?x?(4.5?3x?2x)1112?3???(k?1)(k)(k?1)(k)(k)?x2?(5?2x1?3x2?x3) 解：（1）SOR法?x23???(k?1)(k)(k)(k)x?x?(0.5?x?2x)3323?2?（2）?(BJ)?0.7817,?opt?2/(1?1??2(BJ))?1.6970
x(1)?2.5455??0.8295??,x(2)??2.1411? ??-0.0515???????0.3805???1.9757??
?21??3?28.用共轭斜量法求解，其中A?? ,b?????15??1?解：x(0)??00?
k?0,r(0)?b?Ax(0)??31?,P(0)?r(0)??31?TTT?0?(r(0),r(0))/(AP(0),P(0))?x(1)?x(0)??0P(0)?10?0.344829
10TT?31???1.0345, 0.3448?29k?1,r(1)?r(0)??0AP(0)?(0.5862, -1.7586)T?0?(r(1),r(1))/(r(0),r(0))?0.3436P(1)?r(1)??0P(0)?(1.6171,-1.4150)T?1?(r(1),r(1))/(AP(1),P(1))?0.3222x(2)?x(1)??1P(1)?(1.5556, -0.1111)T
29．试证明对于最速下降法，相邻两次的搜索方向是正交的，即(r(k?1),r(k))?0 证明：
r(k?1)?b?Ax(k?1)?b?A(x(k)??kr(k))?b?Ax(k)??kAr(k)?r(k)??kAr(k)(r(k),r(k))??k?(Ar(k),r(k))?(r(k?1),r(k))?(r(k),r(k))??k(Ar(k),r(k))?0
30.已知一组线性无关向量u(1)?(-1,1,1)T,u(2)?(1,0,-1)T,u(3)?(0,1,1)T,由此向量组，按Schmidt正交化方法，求一组对应的A-共轭向量组，其中
?310?? A??131????013??解：v1?u1?(?1,1,1)T,v2?u2??v1,确定?使(Av2,v1)?0,
?=-(Au2,v1)(Au2,v1),v2?u2-v1?(0.3333 0.6667 -0.3333)T(Av1,v1)(Av1,v1)
令v3?u3??1v1??2v2,确定?1，?2使(Av3,v1)?0,(Av3,v2)?0,v3?u3?
(Au3,v1)(Au3,v2)v1?v2?(1.5000 -1.0000 1.5000)T(Av1,v1)(Av2,v2)