《离散型随机变量及其分布列 超几何分布》解读
江西省于都县第二中学 谢才兴 邮编：342300
一、学习目标
1．理解离散型随机变量的概念，掌握离散型随机变量的两个性质，会求离散型随机变量的的分布列；
2．知道超几何分布，会利用超几何分布求离散型随机变量的分布列. 二、知识梳理
1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示
2.离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量若ξ是随机变量，η=aξ+b，其中a、b是常数，则η也是随机变量.
3.连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量
4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出
5.离散型随机变量的分布列: ξ x1 x2 … xi … P P1 P2 … Pi … 6.离散型随机变量分布列的两个性质： ①pi≥0(i=1，2，…)； ②P1+P2+…=1. 7.超几何分布列
在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生
nkCkMCN－M
的概率为：P(X＝k)＝ (k＝0,1,2，…，m)，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，
CnN
－
n、M、N∈N*，则称分布列
X P 为超几何分布列. 0 n－0C0CN－MM· nCN1 n－1C1MCN－M nCN… …[来源学+科+网Z+X+X+K]m n－mCmMCN－M nCN三、热点例析
题型一：离散型随机变量的概念
离散型随机变量的考查主要以客观题形式出现，主要考查对概念的理解，对概念的理解一是看结果是否可以有限，即是否可以一一列举，能够按一次次序列举出来的是离散型随机变量，二是随机事件的结果能否用变量来表示.
例1．已知下列随机变量:
①10件产品中有2件次品,从中任选3件,取到次品的件数X;
②一位射击手对目标进行射击,击中目标得1分,未击中目标得0分,用X表示该射击手在一次射击中的得分;
③刘翔在一次110米跨栏比赛中的成绩X;
④在体育彩票的抽奖中,一次摇号产生的号码数X. 其中X是离散型随机变量的是( ) A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.③④ 分析：本题在于考查离散型随机变量的概念.
解析：③中X的值可在某一区间内取值,不能一一列出,故不是离散型随机变量. 答案：C
评析：随机主量本质上讲就是以随机试验的每一个结果为自变量的一个函数，它与函数有所不同，函数f(x)的自变量是实数x，而随机变量概念中，随机变量的自变量是试验结果（即样本点）.
[练习] 1．投掷两枚硬币，不是随机变量的为( ) A．掷硬币的个数 B．正面向上的个数
C．反面向上的个数 D．正面向上和反面向上的个数之差的绝对值
2.袋中装有10个红球,5个黑球,每次随机抽取一个球,若取得黑球,则另换一个红球放回袋中,直到取到红球为止,若抽取的次数为X,则表示“放回5个球”的事件为( )
A.X=4 B.X=5 C.X=6 D.X≤4 题型二 求离散型随机变量的分布列
求离散型随机变量的分布列的步骤是：首先求出离散型随机变量X的每一个取值，其次是求每个一取值的概率，最后是列表求得分布列.
例2设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 求：(1)2X＋1的分布列；(2)|X－1|的分布列． 分析：首先利用离散型随机变量的性质求出m，分别求出2X+1，|X－1|的取值，再根据取值的概念求得各次的分布列.
解：由分布列的性质知：0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3. 首先列表为：
X 0 1 2 3 4 1 3 5 7 9 2X＋1 |X－1| (1)2X＋1的分布列： 2X＋1 P (2)|X－1|的分布列： 1 0.2 3 0.1 5 0.1 7 0.3 9 0.3 1 0 1 2 3 0 1 2 3 |X－1| P 0.1 0.3 0.3 0.3 点评：在求离散型随机变量的分布列时要明确随机变量所取的每一个值表示的意义是关键，
c
[练习] 3.[2013·衢州质检] 随机变量X的概率分布规律为P(X＝k)＝，k＝1，
k·（k＋1）
15
2345A. B. C. D. 3456 4．随机变量X的分布列如下： X 0 1 －1 P a b c 其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝______. 题型三 超几何分布的应用 超几何分布作为常见的一种分布列，它是新课标高考的高频考点之一，它主要应用于一件事下的两类不同的形态中，即红球与白球，正品与次品等. 例3．[2013·孝感模拟] 袋子中装有大小、形状完全相同的m个红球和n个白球，其中m，n满足m>n≥2且m＋n≤10(m，n∈N＋)，若从中取出2个球，取出的2个球是同色的概率等于取出的2个球是异色的概率． (1)求m，n的值； (2)从袋子中任取3个球，设取到红球的个数为X，求X的分布列． 分析：根据题设条件与组合数性质，求出m，n的值，要注意m>n≥2，m＋n≤10这个条件. 21 C2C1m＋CnmCn 解：(1)依题意得2＝2，即(m－n)2＝m＋n，则m＋n是完全平方数． Cm＋nCm＋n 又m>n≥2，m＋n≤10，∴m＋n＝9，m－n＝3， ∴m＝6，n＝3. (2)X的取值为0，1，2，3， 1 C31C2333C6P(X＝0)＝3＝；P(X＝1)＝3＝； C984C91412 C3C615C356P(X＝2)＝3＝；P(X＝3)＝3＝. C928C921 X的分布列为 X 0 1 2 3 13155P 84142821评析：超几何分布重点是记模型，而不是死记公式，它的数学模型是：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为：P(X＝k)＝ n－kCkMCN－M (k＝0,1,2，…，m)，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n、M、N∈N*. nCN [练习]5.一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为 ( )． 1272721A. B. C. D. 2205522055 6．一袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到71个白球的概率是. 9 (1)求白球的个数； (2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的分布列． [练习参考答案] 1．A．提示： 掷硬币的个数为2，不是随机变量；正面向上的个数为0，1，2，是随机变量；反面向上的个数为0，1，2，是随机变量；正面向上和反面向上的个数之差的绝对值为0，2，是随机变量，故选A. 2．C．提示：第一次取到黑球,则放回1个球,第二次取到黑球,则放回2个球……共放了五回,第六次取到了红球,试验终止,故X=6 cccc515 3．D．提示：由题意，得＋＋＋＝1，即c＝，于是P 261220422 cc2255 2)＝＋＝c＝×＝，故选D. 263346214．．提示： ∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.又a＋b＋c＝1，∴b＝， 33 2 ∴P(|X|＝1)＝a＋c＝. 3 5．提示：用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量．当X＝4时，说明 2C1279C3取出的3个球有2个旧球，1个新球，∴P(X＝4)＝3＝，故选C. C12220 6.解:(1)记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A， C2710－x 设袋中白球的个数为x，则P(A)＝1－2＝，得到x＝5. C109 3kCk5C5 (2)X服从超几何分布，其中N＝10，M＝5，n＝3，其中P (X＝k)＝3，k＝0,1,2,3. C10 － 于是可得其分布列为 X P 0 1 121 5 122 5 123 1 12 《条件概率与独立事件 、二项分布》解读 江西省于都县第二中学 谢才兴 邮编：342300 一、学习目标 1．了解条件概率的概念，理解并掌握条件概率的公式，并能应用公式作相关概率的计算． 2．理解两个事件相互独立的概率公式，会判断两件事是否为独立事件，并了解互斥事件与独立事件的区别与联系．掌握独立事件的计算公式，并能利用公式解决相关问题的概率． 3．理解并掌握二项分布及其概率公式，能运用这一公式解决一些简单的实际问题． 二、知识梳理 P(AB) 1．对于两个事件A与B，如果P(A)>0，称P(B|A)= ，为在事件A发生的条件 P(A) 下事件B发生的条件概率. 2.相互独立事件 (1)概念：如果两个事件A与B满足等式P(AB)＝P(A)P(B)，称事件A与B是相互独立的，简称A与B，即：若A的发生与B的发生互不影响，则称A、B相互独立． (2)性质：若A与B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)． ____ (3) 若A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立． 3. 二项分布 如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好 kn－k 发生k次的概率是P(X＝k)＝Ck，其中k＝0，1，2，3，…，n，q＝1－p.于是得到随npq机变量X的概率分布如下： X 0 1 … k … n 00nnn011n－1kkn－kP Cnpq … … Cnpq Cnpq Cnpq －－knk0n11n1kn－kn0 由于Ck恰好是二项展开式(p＋q)n＝C0＋…＋Ck＋…＋Cnnpqnpq＋Cnpqnpqnpq 中的第k＋1项(k＝0，1，2，…，n)中的值，故称随机变量X为二项分布，记作X～B(n，p)． 4. “互斥”与“相互独立”的区别与联系 相同点 不同点 ①“互斥”强调不可能同时发生，“相互独立”强调①独立事件的公式：P(AB)=P(A)P(B) 都是描绘两个一个事件的发生与否对另一事件发生没有影响． ②互斥事件的公式：事件间的关系 ②“互斥”的两个事件可以“独立”，“独立”的两个P(A+B)=P(A)+P(B) 事件也可“互斥” 三、热点例析 题型一 条件概率的应用 条件概率公式揭示了条件概率P(B|A)与事件P(A)，P(AB)之间的关系，为了方便也常将公式变形为乘法公式：P(AB)= P(B|A) P(A)，另条件概率主要有两种求法，一种是列举筛选法，二是公式法． 例1．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是( ) 25 ①P(B)＝；②P(B|A1)＝；③事件B与事件A1相互独立；④A1，A2，A3是两两互 511 斥的事件； A．②④ B．①③ C．②③ D．①④ 【分析】由题意知P(B)的值是由A1，A2，A3中某一个事件发生所决定的，故①③错 15×P(B∩A1)2115 误；∵P(B|A1)＝＝＝，故②正确；由互斥事件的定义知④正确，故正确的 P(A1)111 2 结论的编号是②④. 【答案】A 【点评】本题考查了条件概率、互斥事件与独立事件等概念，其中条件概率的计算采用了公式法． 【练习】1. (2013·聊城模拟)某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关 11 第一次闭合后出现红灯的概率是，两次闭合都出现红灯的概率为.在第一次闭合后出现红 26 灯的条件下第二次出现红灯的概率为____________． 2．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝( ) 1121A. B. C. D. 8452 题型二 利用独立事件概率公式解决实际问题 应用相互独立事件同时发生的概率公式的解题步骤为：①确定各事件是相互独立的；②确定各事件会同时发生；③先求每个事件发生概率，再求其积或和. 例2.有一种闯三关游戏规则规定如下：用抛掷正四面体型骰子(各面上分别有1，2，3，4点数的质地均匀的正四面体)决定是否过关，在闯第n(n＝1，2，3)关时，需要抛掷n次骰子，当n次骰子面朝下的点数之和大于n2时，则算闯此关成功，并且继续闯关，否则停止闯关．每次抛掷骰子相互独立． (1) 求仅闯过第一关的概率； (2) 记成功闯过的关数为ξ，求ξ的分布列．