的术前准备时间就变为6天，而一般情况下，白内障患者的术前准备时间只需1、2天；这样的情况会延迟其它类病人的入院时间，进而使得病人队列越来越长。在病床不够的情况下，从医院的角度讲，医院自然希望在多做手术的同时，减小病人占用病床的时间。为了得到合理的安排规则，首先要确定合理的评价指标体系，用此评价按该规则建立的病床安排模型的优劣。
针对问题一：从病人的角度看，病人到医院看病分为以下几个阶段:挂号看病时间即门诊时间，入院，手术前的准备，手术，手术后的观察，出院。合理的安排就是让病人从挂号看病到出院的时间尽量的短。但根据实际情况知病人的术后观察时间是由病情决定的，故所建立的模型只能缩短门诊看病到接受手术的时间间隔即病人手术前的逗留时间，所以模型的评价指标可以是病人手术前的平均逗留时间，平均术前准备时间。从医院的角度看，我们可以将病床的周转次数作为评价指标。由于病床的周转次数与医院每天出院人数是密切相关的——在病床不够的情况下，医院每天出院的人数越多，能够入院的病人就越多，病床周转次数就越多，医院的效益就越好。所以，综合考虑病人和医院的利益，我们把病人手术前的平均逗留时间，平均术前准备时间，平均每天出院人数作为评价指标，当前两个指标值越小，最后一个指标值越大的时候，病床安排模型越好。
针对问题二：在确定病人入院规则时，要考虑以下几点:白内障病人只能安排在周一与周三做手术，而其它病人除外伤病人外不能在周一和周三做手术，还有不同的病人的术前准备时间不一样；使得建立的入院规则能够让病人的等待时间尽量短，这就可以缩短病人在医院的时间，亦可缩短病人从门诊到入院的时间。再对题给数据进行分析，得出各类病人到门诊看病的统计规律，然后就可以以问题一的评价指标作目标函数，以安排病人入院规则为约束建立一个病床安排的多目标最优化模型。
针对问题三：根据各类病人的统计结果，可得出每天有多少人患病以及患什么病，找出其分布规律，然后根据病人的入院规则，可以得出各类病人大致在星期几入院，再根据术后观察时间的统计规律，便可以得到病人的出院时间，从而可安排病人入院，这样就可在病人门诊时告知其大致的入院时间。
针对问题四：同问题二一样，以问题一的评价标准作为目标函数，建立一个病床安排的多目标最优化模型。但由于周六、日不安排手术，会使得约束条件发生改变。
针对问题五：从便于管理的角度医院可以根据各类病人的到达规律安排病床，故先统计出各类病人的到达服从什么样的分布，再建立模型求出平均逗留时间最短时的病床分配方案，但在分配时要把外伤类除外，因外伤类病人不允许等待，故分派给外伤病人的病床必须保证每天都能满足需入院的外伤病人，因此先分配外伤类的病床，再统一分配余下各类病的病床。
4. 数据分析
定义1 术后观察时间指病人出院与第一次手术的时间间隔
定义2 手术前的平均逗留时间指门诊到第一次手术的平均时间
根据对题给数据的统计结果知：
4.1各类病的术前准备时间时间为1-7天（包括1天和7天） 4.2等待住院病人队列越来越长的原因
因为08年7月13日-08年9月11日平均每天到门诊看病的人数为8.6885人，平均每天出院人数为8.1163人，所以近似认为平均每天到门诊看病的人数为8.6885人，平均每天出院人数为8.1163人。正因为每天到门诊看病的人数大于每天出院的人数，所以才导致了等待住院病人队列越来越长。
6
4.3各类病人的到达（病人到达时间指病人的门诊时间）服从泊松分布
由于医院就医排队是典型的排队论问题，而一般的排队论模型都是泊松输入，所以我们先假定病人的到达服从泊松分布，然后根据附录一给出的数据求出每天到门诊看病的各类病人的人数（统计结果见附录二）,再利用6SQ统计软件进行卡方拟合优度检验得到如下结果（结果见表4.1）：
表4.1：各类病人的到达服从泊松分布的卡方拟合优度检验 白内障单眼患者到达时间： 白内障双眼患者到达时间： 视网膜患者到达时间： 假设检验 假设检验 假设检验 零假设 服从泊松分布 零假设 服从泊松分布 零假设 服从泊松分布 自由度 3 自由度 4 自由度 4 卡方统计量 1.8 卡方统计量 1.9 卡方统计量 3.7 p值 0.6 p值 0.8 p值 0.5 显著性水平 0.1 显著性水平 0.1 显著性水平 0.1 结果 接受零假设 结果 接受零假设 结果 接受零假设 青光眼患者到达时间： 外伤患者到达时间： 假设检验 假设检验 零假设 服从泊松分布 零假设 服从泊松分布 自由度 3 自由度 2 卡方统计量 4 卡方统计量 1 p值 0 p值 1 显著性水平 0 显著性水平 0 结果 接受零假设 结果 接受零假设 根据以上假设检验的结果知：各类病人的到达时间均符合泊松分布。 根据指数分布与泊松分布的关系[1]：如相继两个事件出现的间隔时间服从参数为?的指数分布，则在单位时间间隔内事件出现的次数服从参数为?的泊松分布，即单位时间内该事件出现k次的概率为
(k?0,1,2,?,n) ⑴ k!将各类病人平均每天到达的人数，即?值代入式⑴，可得相应的概率密度函数，计
p(??k)??ek??算结果见表4.2。
表4.2：各类病人达到时间的概率密度函数和相应的?值 类别 白内障单眼 白内障双眼 视网膜 青光眼 ? 1.6 2.2 2.8 1 p(??k) 外伤 1 k?11.6ek!k?1.6 2.2ek!k?2.2 2.8ek!k?2.8 1ek?1k!?e?1k! 1ek!?e?1k! 4.4各类患者的术后观察时间服从均匀分布 首先统计出各类病人的术后观察时间（统计结果见附录三），根据统计结果，我们假定各类病人的术后观察时间服从均匀分布，然后通过6SQ统计软件进行卡方拟合优度检验，检验结果见表4.3。
表4.3：各类患者的术后观察时间服从均匀分布的卡方拟合优度检验 白内障单眼术后观察时间 白双术后观察时间 视网膜术后观察时间
7
假设检验 零假设 自由度 卡方统计量 p值 显著性水平 结果 青光眼术后观察时间 假设检验 零假设 自由度 卡方统计量 p值 显著性水平 结果 服从均匀分布 服从均匀分布 假设检验 零假设 34 自由度 0.999999107 p值 0.05 显著性水平 接受零假设 结果 接受零假设 假设检验 服从均匀分布 零假设 39 自由度 1 p值 0.05 显著性水平 结果 服从均匀分布 53 0.996696665 0.05 接受零假设 服从均匀分布 99 0.999897347 0.05 接受零假设 7.858300287 卡方统计量 2.093007186 卡方统计量 55.04926108 外伤术后观察时间 假设检验 零假设 37 自由度 11.66013072 卡方统计量 29.25609756 0.999978078 p值 0.05 显著性水平 接受零假设 结果 根据以上假设检验的结果知：各类病人的术后观察时间均服从均匀分布。 4.5外伤病人住院时间服从泊松分布
首先统计出外伤病人的住院时间，根据统计结果，我们假定其服从泊松分布，然后通过6SQ统计软件进行卡方拟合优度检验，检验结果见表4.4.
表4.4: 外伤病人住院时间服从泊松分布的卡方拟合优度检验结果
假设检验 零假设 服从泊松分布 自由度 6 卡方统计量 11.01007449 p值 0.088065567 显著性水平 0.05 结果 接受零假设 5． 问题一的解答
本文研究的是某医院眼科病床的合理安排的数学建模问题，对于病床安排模型的优
劣，不能凭人们的主观感受进行判断，而要确定合理的评价指标体系进行判断，为此我们确定了如下的评价指标体系： 指标1：手术前的平均逗留时间
手术前的平均逗留时间指门诊到第一次手术的平均时间，其数学表达式为
5n(i)q??(TTq?i?1j?1(i)(j)?Tg(i)(j))5
?n(i)i?1 8
该指标值越小，表示病床安排模型越好。 指标二：平均每天出院人数
平均每天出院人数的数学表达式为：
5n??NO(i)(j)NO?i?1j?1n
该指标值越大，表示病床安排模型越优。 指标三：病人平均术前的准备时间
病人平均术前准备时间的数学表达式为
5n(i)g??TTg?i?1j?15i?1(i)(j)
?n(i)该指标值越小，表示病床分配模型越优。
对于题目中给出的以FCFS为原则（急症除外）的病床安排模型，我们通过求解得到其三个评价指标分别为：
Tq?13.1519天
NO?33844?7.8605人（从题给数据知，在
7月30日之前，只有外伤病人出院，但
在7月30日之后，各类病人均出院达到稳定，所以用7月30日之后的统计数据求解平均每天出院人数）
Tg?2.4413天
6. 问题二的解答
针对问题二我们建立了模型一。 6.1模型一的建立 6.1.1确定目标函数
该模型是为了解决医院的病床安排问题，为了使病床的安排更加合理，我们只需使三个评价指标——手术前的平均逗留时间Tq最小，平均每天出院人数NO最大，病人平均术前的准备时间Tg最小即可，所以我们建立了如下的目标函数：
?minTq???maxNO ?minTg??6.1.2确定约束条件
ⅰ由于白内障手术比较简单，此类病人的术前准备时间只需1、2天，而且根据附表一知，各类病人的术前准备时间均在1-7天之内（包括1天和7天），所以白内障单眼和双眼病人术前准备时间为1-7天，即
1?Tg(i)(j)?7,i?1,2
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ⅱ由于视网膜和青光眼疾病比较复杂，大致住院以后2-3天内就可以接受手术，而且根据附表一知，各类病人的术前准备时间均在1-7天之内（包括1天和7天），所以这两类疾病的术前准备时间为2-7天，即
2?Tg(i)(j)?7,i?3,4
ⅲ外伤疾病有空床时立即安排住院，且住院后第二天便会安排手术，所以此类病的术前准备时间为1天，即
Tg(5)(j)?1
ⅳ根据数据分析结果，为了缩短等待入院病人的队列长度，我们制定了如下的病床安排原则：
原则1 白内障单眼患者一般安排在周一、周二、周六、周日入院 原则2 白内障双眼患者一般安排在周六、周日入院
原则3 视网膜和青光眼患者安排在周三、周四、周五入院 原则4 外伤病人当天入院，第二天手术
原则5 当病人等待时间达到25天时，只要有空病床立即安排入院
说明：外伤病人在任意一天优先级是最高的，在某一天病人可安排住院此时此类病（除外伤）人的优先级第二高，且若有两类或两类以上的病（除外伤）人都可在同一天入院，则这些病人优先级第二高且相等，在这天不安排住院的病人的优先级最低。例如白内障单眼患者在周一、周二、周六、周日的优先级第二高，在其它的时间优先级最低。故患者的优先级随时间动态的发生改变。
因为Th(i)(j)表示患第i类病的第j个病人的入院时间（Th(i)(j)?1,2,3,?，Th(i)(j)?1表示2008年7月13日，Th(i)(j)?2表示2008年7月14日，依此类推??），又由于2008年7月13日是星期日，所以
?1,表示该病人的入院时间为周一??2,表示该病人的入院时间为周二?3,表示该病人的入院时间为周三??Th(i)(j)?1?%7??4,表示该病人的入院时间为周四?5,表示该病人的入院时间为周五??6,表示该病人的入院时间为周六??0,表示该病人的入院时间为周日 （2）
根据式（2）和病床安排原则，我们确定了如下的约束条件：
原则1??Th(1)(j)?1?%7?{1，，26，0}原则2??Th(2)(j)?1?%7?{0，6}原则3??Th(i)(j)?1?%7?{3，，45},i?3,4原则4?Tg(5)(j)?1原则5?Tq(i)(j)?25整数约束：Tq(i)(j)，Th(i)(j)?1,2,3? ?%是求余运算?
6.1.3综上所述，得到问题二的多目标最优化模型
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