专题4 曲线运动
1.[2016·全国卷Ⅰ] 如图1-，一轻弹簧原长为2R，其一端固定在倾角为37°的固定直轨5
道AC的底端A处，另一端位于直轨道上B处，弹簧处于自然状态，直轨道与一半径为R的
6光滑圆弧轨道相切于C点，AC＝7R，A、B、C、D均在同一竖直平面内．质量为m的小物块P自C点由静止开始下滑，最低到达E点(未画出)，随后P沿轨道被弹回，最高到达F点，AF13
＝4R，已知P与直轨道间的动摩擦因数μ＝，重力加速度大小为g.(取sin 37°＝，cos 37°
454
＝) 5
(1)求P第一次运动到B点时速度的大小． (2)求P运动到E点时弹簧的弹性势能．
(3)改变物块P的质量，将P推至E点，从静止开始释放．已知P自圆弧轨道的最高点D处7
水平飞出后，恰好通过G点．G点在C点左下方，与C点水平相距R、竖直相距R，求P运
2动到D点时速度的大小和改变后P的质量．
图1-
解析： (1)根据题意知，B、C之间的距离l为
l＝7R－2R ①
设P到达B点时的速度为vB，由动能定理得
mglsin θ－μmglcos θ＝mv2B ②
式中θ＝37°，联立①②式并由题给条件得
1
2
vB＝2gR ③
(2)设BE＝x，P到达E点时速度为零，设此时弹簧的弹性势能为Ep.P由B点运动到E点的过程中，由动能定理有
mgxsin θ－μmgxcos θ－Ep＝0－mv2B ④ E、F之间的距离l1为 l1＝4R－2R＋x ⑤
1
1
2
P到达E点后反弹，从E点运动到F点的过程中，由动能定理有 Ep－mgl1sin θ－μmgl1cos θ＝0 ⑥
联立③④⑤⑥式并由题给条件得
x＝R ⑦ Ep＝mgR ⑧
(3)设改变后P的质量为m1，D点与G点的水平距离x1和竖直距离y1分别为
125
x1＝R－Rsin θ ⑨ y1＝R＋R＋Rcos θ ⑩
式中，已应用了过C点的圆轨道半径与竖直方向夹角仍为θ的事实． 设P在D点的速度为vD，由D点运动到G点的时间为t.由平抛物运动公式有
56
56
7256
y1＝gt2 ? x1＝vDt ?
联立⑨⑩??式得
1
2
vD＝
3
5gR ? 5
设P在C点速度的大小为vC，在P由C运动到D的过程中机械能守恒，有 1212?55?m1vC＝m1vD＋m1g?R＋Rcos θ? ? 22?66?
P由E点运动到C点的过程中，同理，由动能定理有 Ep－m1g(x＋5R)sin θ－μm1g(x＋5R)cos θ＝m1v2 C?
联立⑦⑧???式得
1
2
m1＝m ?
2.[2016·天津卷] 如图1-所示，空间中存在着水平向右的匀强电场，电场强度大小E＝53 N/C，同时存在着水平方向的匀强磁场，其方向与电场方向垂直，磁感应强度大小B＝0.5 T．有一带正电的小球，质量m＝1×10 kg，电荷量q＝2×10 C，正以速度v在图示的竖直面内做匀速直线运动，当经过P点时撤掉磁场(不考虑磁场消失引起的电磁感应现象)，g取10 m/s.求：
2
－6
－6
1
3
2
图1-
(1)小球做匀速直线运动的速度v的大小和方向；
(2)从撤掉磁场到小球再次穿过P点所在的这条电场线经历的时间t.
解析： (1)小球匀速直线运动时受力如图1-所示，其所受的三个力在同一平面内，合力为零，有
qvB＝q2E2＋m2g2 ①
图1-
代入数据解得v＝20 m/s ②
速度v的方向与电场E的方向之间的夹角θ满足 tan θ＝ ③
代入数据解得tan θ＝3 θ＝60° ④ (2)解法一：
撤去磁场，小球在重力与电场力的合力作用下做类平抛运动，设其加速度为a，有
qEmgq2E2＋m2g2a＝ ⑤
m设撤掉磁场后小球在初速度方向上的分位移为x，有
x＝vt ⑥
设小球在重力与电场力的合力方向上分位移为y，有
y＝at2 ⑦
a与mg的夹角和v与E的夹角相同，均为θ，又
tan θ＝ ⑧
联立④⑤⑥⑦⑧式，代入数据解得
12
yxt＝2 3 s＝3.5 s ⑨
3
解法二：
撤去磁场后，由于电场力垂直于竖直方向，它对竖直方向的分运动没有影响，以P点为坐标原点，竖直向上为正方向，小球在竖直方向上做匀减速运动，其初速度为vy＝vsin θ ⑤ 若使小球再次穿过P点所在的电场线，仅需小球的竖直方向上分位移为零，则有
vyt－gt2＝0 ⑥
联立⑤⑥式，代入数据解得t＝2 3 s＝3.5 s
3.[2016·江苏卷3分] 有A、B两小球，B的质量为A的两倍．现将它们以相同速率沿同一方向抛出，不计空气阻力．图中①为A的运动轨迹，则B的运动轨迹是( )
12
图1-
A．① B．② C．③ D．④ 答案：A
解析： 抛体运动的加速度始终为g，与抛体的质量无关．当将它们以相同速率沿同一方向抛出时，运动轨迹应该相同．故选项A正确．
4.[2016·浙江卷] 在真空环境内探测微粒在重力场中能量的简化装置如图1-9所示．P是一个微粒源，能持续水平向右发射质量相同、初速度不同的微粒．高度为h的探测屏AB竖直放置，离P点的水平距离为L，上端A与P点的高度差也为h.
图1-9
(1)若微粒打在探测屏AB的中点，求微粒在空中飞行的时间； (2)求能被屏探测到的微粒的初速度范围；
4
(3)若打在探测屏A、B两点的微粒的动能相等，求L与h的关系． 解析： (1)打在中点的微粒 312
h＝gt ① 22
t＝
3hg ②
(2)打在B点的微粒
L1v1＝；2h＝gt21 ③
t12v1＝Lg ④ 4hg ⑤ 2h同理，打在A点的微粒初速度v2＝L微粒初速度范围L(3)由能量关系
121mv2＋mgh＝mv21＋2mgh ⑦ 22代入④、⑤式得L＝22h ⑧
g≤v≤L4hg ⑥ 2h5.[2016·全国卷Ⅲ] 如图所示，一固定容器的内壁是半径为R的半球面；在半球面水平直径的一端有一质量为m的质点P.它在容器内壁由静止下滑到最低点的过程中，克服摩擦力做的功为W.重力加速度大小为g.设质点P在最低点时，向心加速度的大小为a，容器对它的支持力大小为N，则( )
图1-
2（mgR－W）2mgR－WA．a＝ B．a＝
mRmR3mgR－2W2（mgR－W）C．N＝ D．N＝ RR答案：AC
122（mgR－W）2解析： 质点P下滑到底端的过程，由动能定理得mgR－W＝mv－0，可得v＝，
2mv22（mgR－W）v2
所以a＝＝，A正确，B错误；在最低点，由牛顿第二定律得N－mg＝m，故RmRRv2m2（mgR－W）3mgR－2WN＝mg＋m＝mg＋·＝，C正确，D错误．
RRmR
5