11
6.[2016·全国卷Ⅲ] 如图1-所示，在竖直平面内有由圆弧AB和圆弧BC组成的光滑固定
42轨道，两者在最低点B平滑连接．AB弧的半径为R，BC弧的半径为.一小球在A点正上方
2与A相距处由静止开始自由下落，经A点沿圆弧轨道运动．
4(1)求小球在B、A两点的动能之比；
(2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点．
RR 图1-
解析： (1)设小球的质量为m，小球在A点的动能为EkA，由机械能守恒得EkA＝mg ①
45R设小球在B点的动能为EkB，同理有EkB＝mg ②
4由①②式得
REkB＝5 ③ EkA(2)若小球能沿轨道运动到C点，小球在C点所受轨道的正压力N应满足N≥0 ④
2mvC设小球在C点的速度大小为vC，由牛顿运动定律和向心加速度公式有N＋mg＝ ⑤
R2
由④⑤式得，vC应满足mg≤m2vC2
R ⑥
R12
由机械能守恒有mg＝mvC ⑦
42
由⑥⑦式可知，小球恰好可以沿轨道运动到C点．
7.[2016·天津卷] 我国将于2022年举办冬奥会，跳台滑雪是其中最具观赏性的项目之一．如图1-所示，质量m＝60 kg的运动员从长直助滑道AB的A处由静止开始以加速度a＝3.6 m/s
2
匀加速滑下，到达助滑道末端B时速度vB＝24 m/s，A与B的竖直高度差H＝48 m．为了改变运动员的运动方向，在助滑道与起跳台之间用一段弯曲滑道衔接，其中最低点C处附近是一段以O为圆心的圆弧．助滑道末端B与滑道最低点C的高度差h＝5 m，运动员在B、C间运动时阻力做功W＝－1530 J，g取10 m/s.
2
6
图1-
(1)求运动员在AB段下滑时受到阻力Ff的大小；
(2)若运动员能够承受的最大压力为其所受重力的6倍，则C点所在圆弧的半径R至少应为多大？
解析： (1)运动员在AB上做初速度为零的匀加速运动，设AB的长度为x，则有vB＝2ax ① 由牛顿第二定律有mg－Ff＝ma ② 联立①②式，代入数据解得Ff＝144 N ③
(2)设运动员到达C点时的速度为vC，在由B到达C的过程中，由动能定理有
2mgh＋W＝mv2C－mvB ④
2
Hx1212
v2C设运动员在C点所受的支持力为FN，由牛顿第二定律有FN－mg＝m ⑤
R由运动员能够承受的最大压力为其所受重力的6倍，联立④⑤式，代入数据解得R＝12.5 m 8.[2016·浙江卷6分] 如图1-6所示为赛车场的一个水平“梨形”赛道，两个弯道分别为半径R＝90 m的大圆弧和r＝40 m的小圆弧，直道与弯道相切．大、小圆弧圆心O、O′距离L＝100 m．赛车沿弯道路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力是赛车重力的2.25倍．假设赛车在直道上做匀变速直线运动，在弯道上做匀速圆周运动．要使赛车不打滑，绕赛道一圈时间最短(发动机功率足够大，重力加速度g取10 m/s，π＝3.14)，则赛车( )
2
图1-6
A．在绕过小圆弧弯道后加速 B．在大圆弧弯道上的速率为45 m/s C．在直道上的加速度大小为5.63 m/s D．通过小圆弧弯道的时间为5.58 s 答案：AB
7
2
v2
解析： 要使赛车绕赛道一圈时间最短，则通过弯道的速度都应最大，由f＝2.25mg＝m可
r知，通过小弯道的速度v1＝30 m/s，通过大弯道的速度v2＝45 m/s，故绕过小圆弧弯道后要加速，选项A、B正确；如图所示，由几何关系可得AB长x＝L－（R－r）＝503 m，故
222
v245－30θx32－v122
在直道上的加速度a＝＝ m/s≈6.5 m/s，选项C错误；由sin＝＝可
2x2L22×503
2
2
知，小圆弧对应的圆心角θ＝＝2.79 s，选项D错误．
2πθr2πr2×3.14×40
，故通过小圆弧弯道的时间t＝＝＝ s3v13v13×30
D5 万有引力与天体运动
9.[2016·全国卷Ⅰ6分] 利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯，目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍．假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为( ) A．1 h B．4 h C．8 h D．16 h 答案：B
解析： B 当一地球卫星的信号刚好覆盖赤道120°的圆周时，卫星的轨道半径r＝
cos 60°2π?22π?2T?2GMmGMm???＝2R；对同步卫星，分别有?·6.6R和（2R）2＝m?T?·2R，即?T0?＝2＝m?（6.6R）?T0?????
R?2R?，解得T＝4 h，选项B正确．
?6.6R???
10.[2016·全国卷Ⅲ6分] 关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是( ) A．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律 B．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律
C．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因 D．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律 答案：B
3
8
解析： 开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律，牛顿在开普勒研究基础上结合自己发现的牛顿运动定律，发现了万有引力定律，指出了行星按照这些规律运动的原因，选项B正确．
11.（2016年海南卷7题6分）通过观察冥王星的卫星，可以推算出冥王星的质量。假设卫星绕冥王星做匀速圆周运动，除了引力常量外，至少还需要两个物理量才能计算出冥王星的质量。这两个物理量可以是
A．卫星的速度和角速度B．卫星的质量和轨道半径 C．卫星的质量和角速度D．卫星的运行周期和轨道半径 答案：AD
解析:根据线速度和角速度可以求出半径r?v?，根据万有引力提供向心力则：
2GMmv2rv3v，故选项A正确；由于卫星的质量m约掉，故?m，整理可以得到：M??rr2GG?GMm2?与卫星的质量无关，故选项BC错误；若知道卫星的周期和半径，则2?m()r，整理
rT4?2r3得到：M?，故选项D正确。
GT2212.[2016·北京卷6分] 如图1-所示，一颗人造卫星原来在椭圆轨道1绕地球E运行，在P点变轨后进入轨道2做匀速圆周运动．下列说法正确的是( )
图1-
A．不论在轨道1还是在轨道2运行，卫星在P点的速度都相同 B．不论在轨道1还是在轨道2运行，卫星在P点的加速度都相同 C．卫星在轨道1的任何位置都具有相同加速度 D．卫星在轨道2的任何位置都具有相同动量 答案：B
解析： 卫星在椭圆轨道1上运动时，在近地点卫星与地球之间的万有引力小于卫星所需向心力，在远地点卫星与地球之间的万有引力大于卫星所需的向心力，所以在P点被加速后，当万有引力等于卫星所需的向心力时，卫星可以稳定在圆形轨道2上运行，选项A不正确．卫
9
星在轨道1或轨道2经过P点时，卫星与地球之间的万有引力相同，由G2＝ma，可得a＝2，因此加速度相同，选项B正确．卫星受地球引力产生的加速度时刻指向地球，在轨道1的任何位置加速度的方向都不相同，所以加速度不相同，选项C不正确．卫星在轨道2上运行时的速度方向不停地变化，动量的方向也在变化，动量不相同，选项D不正确．
13.[2016·天津卷6分] 我国即将发射“天宫二号”空间实验室，之后发射“神舟十一号”飞船与“天宫二号”对接．假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是( )
MmrGMr
图1-
A．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接 B．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接 C．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接
D．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接 答案：C
解析： 若使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，则飞船加速后，万有引力不足以提供向心力，飞船将远离原来的轨道，不能实现对接，A错误；若使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，则空间实验室减速将会使空间实验室进入低轨道，也不能实现对接，故B错误；实现对接的方法是使飞船在比空间实验室低的轨道上加速，然后飞船进入较高的空间实验室轨道后实现对接，C正确；若使飞船在比空间实验室低的轨道上减速，则飞船将进入更低的轨道上去运行，无法实现对接，D错误．
14.[2016·江苏卷4分] 如图1-所示，两质量相等的卫星A、B绕地球做匀速圆周运动，用
R、T、Ek、S分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内扫过的面积．下
列关系式正确的有( )
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