河南理工大学毕业设计（论文）说明书
信号，输出是小车的位移和摆杆的角度。对直线二级倒立摆这个典型的机电控制系统来说，它具有以下特性：
(1) 仿射非线性系统：倒立摆控制系统是一种典型的仿射非线性系统，可以应用微分几何方法进行分析。
(2) 不确定性：主要是指建立系统数学模型时的参数误差、量测噪声以及机械传动过程中的非线性因素所导致的难以量化的部分。
(3) 耦合特性：倒立摆的摆杆和小车之间，以及多级倒立摆系统的上下摆杆之间都是强耦合的。这既是可采用单电机驱动倒立摆控制系统的原因，也是使得控制系统的设计、控制器参数调节变得复杂的原因。
(4) 开环不稳定系统：倒立摆系统有两个平衡状态：竖直向下和竖直向上。竖直向下的状态是系统稳定的平衡点(考虑摩擦力的影响)，而竖直向上的状态是系统不稳定的平衡点，开环时微小的扰动都会使系统离开竖直向上的状态而进入到竖直向下的状态中。
针对以上倒立摆系统的特性，在数学上完全准确地描述它几乎是不可能，为了解决实际系统中的控制问题，在实际设计控制系统建模时，通常忽略掉系统中一些次要的因素，例如空气阻力、伺服电机由于安装而产生的静摩擦力、系统连接处的松弛程度、摆杆连接处质量分布不均匀、传动皮带的弹性、传动齿轮的间隙等等，并将小车抽象为质点，摆杆抽象为匀质刚体，从而建立一个比较精确的倒立摆系统的线性模型。
2.2 系统的数学建模
2.2.1 两种数学建模方法的比较
倒立摆系统适合用数学工具进行理论推导，目前，人们对倒立摆系统建模一般采用两种方法：牛顿力学分析方法、欧拉-拉格朗日原理(拉格朗日方程)。
牛顿力学分析方法的注意力集中在与系统的各部分相联系的力和运动以及各部分之间的相互作用。
欧拉-拉格朗日原理(拉格朗日方程)则更多的把系统看作一个整体并利用如动能、势能之类的纯量来描述函数，它具有以下特点:
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① 拉格朗日方程是广义坐标表达的任意完整系统的运动方程，方程的数目等于系统的自由度数，因而可以获得数目更少的运动方程。 ② 建立运动方程时只需分析已知的主动力而不必分析未知的约束力，因而，对于倒立摆这样的复杂系统更能体现其优越性。
③ 拉格朗日方程具有很好的对称性，即对于同一位形空间中的每个坐标而言各方程都具有相同的形式。
④ 拉格朗日方程是以能量观点建立起来的运动方程，在建立系统的运动 方程时，只需分析系统的动能和广义力。用拉格朗日方程可大大简化建模过程。
直线二级倒立摆系统的数学模型采用经典力学进行建模分析，需要考虑各部分受力情况，虽然简单易懂，但需要罗列和解算大量微分方程，同时还需考虑质点组受到的约束条件，计算量大且复杂，对于此次设计，所涉及到的是基于直线二级倒立摆控制系统的MATLAB仿真，如果用牛顿经典力学建立数学模型必须考虑系统各部分干扰因素，对整个设计及其仿真过程影响工作较大；而采用分析力学中的拉格朗日方程建模只需考虑系统的动能和广义力两个方面，计算简单、工作量小，大大简化建模过程，因此此次设计建立数学模型选择拉格朗日方程建模。
2.2.2 系统数学建模参数的设定
在推导直线二级摆系统的数学模型前，为了明确物理意义和推导的方便，忽略了一些次要的因素，做出以下假设: 1.除皮带外整个对象系统看作刚体。
2.齿型带轮和齿型带之间无相对滑动，齿型带无拉长现象，且传递作用的延迟忽略不计。
3.整个电路系统的传递延迟忽略不计，放大器和电位器是线性的。 4.小车在运动过程中所受的摩擦阻力正比于小车速度，上下摆杆转动时作用于摆杆的阻力矩正比于摆杆的角速度。
5.在控制过程中，摆杆没有在与滑轨成垂直方向上的运动。 另外，为了推导方程时的方便，定义一些常用的符号如下:
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x:小车的位移，单位米，当小车在滑轨中心时为零，向右为正； ?1:下摆的角位移，单位弧度，当摆杆竖直向上时为零，顺时针偏转为正； ?2:上摆的角位移，单位弧度，当摆杆竖直向上时为零，顺时针偏转为正；
M0:小车等效系统的等效质量，单位千克； M1:下摆的质量，单位千克； M2:上摆的质量，单位千克；
L:下摆转动轴心到上摆转动轴心的距离，单位米；
l1:下摆转动轴心到其重心的距离，单位米； l2:上摆转动轴心到其重心的距离，单位米；
F0:小车系统的等效摩擦阻力系数，这时把小车与导轨间的摩擦力、电机机械摩擦转矩以及皮带轮摩擦转矩都归算到小车运动上的等效摩擦系数，
?，单位牛·秒/米； 由下式定义:f?F0?xF1:下摆杆与小车之间的的等效转动摩擦阻力系数，其定义如下:等效摩擦
?，单位牛·秒/弧度； 力矩T1?F1??1其定义如下:等效磨F2:上摆杆与下摆杆之间的的等效转动摩擦阻力系数，
?，单位牛·秒/弧度； 擦力矩T2?F2?2J1:下摆对其重心的转动惯量，单位千克·米； J2:上摆对其重心的转动惯量，单位千克·米；
u:控制器向功放电路的输出的控制电压，单位伏；
即转动力矩折合到小车上的控制力UG0:功放电路和电机的等效放大系数，与功放输入电压u之比，单位牛/伏；
U:电机所提供的作用于小车的控制力，其定义如下U?G0?u，单位牛，其方向向右为正；
k1:摆杆转角测量电位器的放大倍数，单位伏/弧度； k2:小车位移测量电位器的放大倍数，单位伏/米；
2.2.3 直线二级倒立摆的拉格朗日方程建模
通过上述设定与分析用拉格朗日方程建立直线二级倒立摆的数学模型。拉格朗日方程为：
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d??L??L?D???T?q,q???V?q,q?? （2-1） ??Q1 ，L?q,q?????dt??q1??q1?q1对于直线二级倒立摆系统，广义坐标为位移x和摆杆角度?1,?2；Q1为作用在系统上的广义力，当q1?x，Q1?G0u,当q1??1,?2时，Q1?0。 T为小车和各级倒立摆的总动能，V为小车和各级倒立摆的总势能，D为小车和各级倒立摆的总耗散能。 规定下摆杆重心坐标为?x1g,y1g?, 上摆杆重心坐标为?x2g,y2g?， 则有：
x1g?x?l1sin?1,y1g?l1cos?1
x2g?x?Lsin?1?l2sin?2,y2g?Lcos?1?l2cos?2
(1)系统总动能T?T0?T1?T2，其中：
?2M0x小车动能： T0?
2下摆杆动能： T1?1?21?1g2?y?1g2? J1?1?M1?x221?21???l1cos?1??M1?x? ?J1?1??22???22??l1sin?1??1? ???上摆杆动能： T2?
1?211?2?2g2?y?2g2??J2?J2?2?M2?x2?
2221??lcos?????Lcos?1?M2?x?122?2??2???2??lsin???2? ?Lsin?1???1222???
则：
T?T0?T1?T2?11?21??2?J1???l1cos?1?M0xM1?x?1?1??222???22?l1sin?1???1????1?21??Lcos?1??J2?M2?x??1?l2cos?2???22???22???22???Lsin?1??1?l2sin?2??2?????11?2?1?J?Ml2???2?2??J1?M1l12?M2L2???M0?M1?M2?x12222222 14
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?????Mlcos??x? ?????M2Ll2cos??2??1??x??1?2??M1l1?M2L?cos?1?12222(2)系统总势能 V?V0?V1?V2，其中: 小车的势能 V0?0
下摆杆的势能 V1?M1gl1cos?1
上摆杆的势能 V2?M2g?Lcos?1?l2cos?2?
则:V?V0?V1?V2?M1gl1cos?1?M2g?Lcos?1?l2cos?2? (3)系统总耗散能D?D0?D1?D2，其中: 小车的耗散能 D10?2F0x?2
下摆杆的耗散能 D11??2F21? 上摆杆的耗散能 D1??????22?2F2?21 则：D?D?110?D1?D22F0x?2?2F?212???2???21??F21? (4)当q1?x时，Q1?G0u，由式(2-1)可得：
d??T??Tdt???x?????x??V?x??D?x??G0u 当q1??1时，Q1?0，由式(2-1)可得：
d??T??Tdt????V??D?????1???1??1????0 1当q1??2时，Q1?0，由式(2-1)可得：
d?dt??T??T??V??D?0 ??????2???2??2???2其中：
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（2-2）
（2-3） （2-4） （2-5） （2-6） （2-7）