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（2）求正交变换x?Qy将f化为标准形. 【解析】
（Ⅰ）由二次型的秩为2知r?ATA??2，故r?A??r?ATA??2，
01???1???011??? A????10a??????0a?1??101??011? 00a??1?000?当a??1时，r?A??2.
?202??（Ⅱ）令B?ATA???022?
?224?????2?E?B?0?20?2??20?2??2?2?????2???2?2?2??40?2??4
10?2????2??1??2?2=????2????6?=0
0?2??4所以B的特征值为?1=2，?2=6，?3=0. 解?2E?B?x=0的基础解系为?1??1,?1,0?T；
?6E?A?x?0的基础解析为?2??1,1,2?T； ?0E?A?x?0的基础解析为?3??1,1,?1?T.
单位化得?1?1?1?1?216TT?2??1,?1,0?，?2??1,1,2?2?26，?3?1?3?3?3T?1,1,?1?. 3www.lookwell.com.cn ;免费考研辅导视频
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?2??2?2得正交矩阵Q????2??0??66666?33??3??2?3???6，则QTAQ?? ?，对角矩阵????3??0???3???3??因此，作正交变换x?Qy，则二次型f的标准形为
2. f?x??xT?ATA?x?yT?y?2y12?6y2
（22）（本题满分11分）
设二维离散型随机变量X、Y的概率分布为 0 1 0 1 2
（Ⅰ）求P?X?2Y?； （Ⅱ）求Cov(X?Y,Y). 【解析】
（Ⅰ）P?X?2Y??P?X?0,Y?0??P?X?2,Y?1??（II）X的概率分布为 X P 1 4 2 1 4 0 1 3 0 1 12 0 1 12 0 11?0? 440 1 21 1 32 1 6www.lookwell.com.cn ;免费考研辅导视频
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1112?1?2?， 2363XY的概率分布为
XY 0 1 2 4 711 P 0 123127112?1?20?4? 故E(XY)?0123123Y的概率分布为
X 0 1 2 111 P 333111故E(Y)?0?1?2?1，
333111552从而，E(Y2)?02?12?22?，D(Y)?E(Y2)?[E(Y)]2??1?，
333333故E(X)?0故Cov(X?Y,Y)?Cov(X,Y)?Cov(Y,Y)
2222=E(XY)?E(X)E(Y)?D(Y)=?1???.
3333
（23）（本题满分11分）
设随机变量X与Y相互独立，且服从参数为1的指数分布. 记U?max?X,Y?，
V?min?X,Y?
（Ⅰ）求V的概率密度fV(v)； （Ⅱ）求E(U?V).
?ve?2v,v?0【答案】 （I）fV?v??FV??v???；（II）E?U?V??2．
?0,v?0【解析】 （I）设V的分布函数是FV?v?，则
FV?v??P?V?v??P?min?X,Y??v?
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?1?P?mi?nXY,????v?1??PX?v,Y??v?1??P?X??vP? Y当v?0时，FV?v??0；
当v?0时，FV?v??1??edx?e?ydy?1?e?2v．
?xvv????vV的概率密度
?ve?2v,v?0, fV?v??FV??v????0,v?0.（II）U?max?X,Y??V?min?X,Y??1??X?Y??X?Y???， 21? ?X?Y??X?Y???2则U?V?X?Y
E?U?V??E?X?Y??E?X??E?Y??1?1?2．
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