南京市、盐城市2012届高三年级第一次模拟考试
数学Ⅰ卷
一.填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答
题纸的指定位置上） 1．已知集合A??1,3?,B??1,2,m?,若A?B,则实数m= ▲ ． 2．若(1?2i)i?a?bi??(a,b?R,i为虚数单位),则ab= ▲ ．
????3．若向量a?(2,3),b?(x,?6),且a//b，则实数x= ▲ ．
4．袋中装有大小相同且形状一样的四个球,四个球上分别标有“2”、“3”、“4”、“6”这四个数.现从中随机选取三个球,则所选的三个球上的数恰好能构成一个等差数列的概率是 ▲ . 5．某校共有400名学生参加了一次数学竞赛,竞赛成绩的频率分布直方图如图所示(成绩分组为[0,10),[10,20),???,[80,90),[90,100]).则在本次竞赛中，得分不低于80分以上的人数为 ▲ ．
6．在?ABC中,已知sinA:sinB:sinC?2:3:4,则cosC? ▲ ．
7．根据如图所示的伪代码,当输入a的值为3时,最后输出的S的值 为 ▲ ．
∥CD,l为空间一直线,则“l垂直于两腰AD,BC”8．已知四边形ABCD为梯形, AB是“l垂直于两底AB,DC”的 ▲ 条件(填写“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中的一个).
2x9．函数f(x)?(x?x?1)e(x?R)的单调减区间为 ▲ ．
10．已知f(x)?a?1是定义在(??,?1]?[1,??)上的奇函数, 则f(x)的值域为 ▲ ． 2x?1*11．记等比数列?an?的前n项积为Tn(n?N),已知am?1am?1?2am?0,且T2m?1?128,
则m? ▲ ．
12．若关于x的方程kx?1?lnx有解,则实数k的取值范围是 ▲ ．
x2y213．设椭圆C:2?2?1(a?b?0)恒过定点A(1,2)，则椭圆的中心到准线的距离的最小
ab值为 ▲ ．
14．设a?x2?xy?y2,b?pxy,c?x?y,若对任意的正实数x,y,都存在以a,b,c为三
边长的三角形,则实数p的取值范围是 ▲ .
二．解答题（本大题共6小题，计90分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）
15．(本小题满分14分)
1已知函数f(x)?3sinxcosx?cos2x?(x?R).
2（1）求函数f(x)的最小正周期；
（2）求函数f(x)在区间[0,]上的函数值的取值范围.
4
16．(本小题满分14分)
如图,在四棱锥P?ABCD中,四边形ABCD是菱形,PA?PC,E为PB的中点.
∥面AEC； （1）求证：PD（2）求证：平面AEC?平面PDB.
?17．(本小题满分14分)
在综合实践活动中,因制作一个工艺品的需要,某小组设计了如图所示的一个门(该图为轴对称图形),其中矩形ABCD的三边AB、BC、CD由长6分米的材料弯折而成，BC边的
3长为2t分米(1?t?)；曲线AOD拟从以下两种曲线中选择一种:曲线C1是一段余弦曲
2线(在如图所示的平面直角坐标系中,其解析式为y?cosx?1),此时记门的最高点O到
9BC边的距离为h1(t)；曲线C2是一段抛物线,其焦点到准线的距离为,此时记门的最高
8点O到BC边的距离为h2(t). （1）试分别求出函数h1(t)、h2(t)的表达式；
（2）要使得点O到BC边的距离最大,应选用哪一种曲线?此时,最大值是多少?
18．(本小题满分16分)
x22y2 如图,在平面直角坐标系xoy中,已知点A为椭圆??1的右顶点, 点D(1,0),点
99????????P,B在椭圆上, BP?DA. （1）求直线BD的方程；
（2）求直线BD被过P,A,B三点的圆C截得的弦长； （3）是否存在分别以PB,PA为弦的两个相外切的等圆?若存在,求出这两个圆的方程；若
不存在,请说明理由.
19．(本小题满分16分)
对于函数f(x),若存在实数对(a,b),使得等式f(a?x)?f(a?x)?b对定义域中的每一个x都成立,则称函数f(x)是“(a,b)型函数”.
（1）判断函数f(x)?4x是否为“(a,b)型函数”，并说明理由；
（2）已知函数g(x)是“(1,4)型函数”,且当x?[0,1]时,g(x)?x2?m(x?1)?1(m?0),
若当x?[0,2]时,都有1?g(x)?3成立,,试求m的取值范围.
20．(本小题满分16分)
已知数列?an?满足：a1?a(a?0,a?N*)，a1?a2?????an?pan?1?0，
(p?0,p??1,n?N*).
（1）求数列?an?的通项公式an；
（2）若对每一个正整数k,若将ak?1,ak?2,ak?3按从小到大的顺序排列后,此三项均能构成等差数列, 且公差为dk. ①求p的值及对应的数列?dk?．
②记Sk为数列?dk?的前k项和，问是否存在a,使得Sk?30对任意正整数k恒成立?若存在,求出a的最大值；若不存在,请说明理由．
数学附加题部分
（本部分满分40分，考试时间30分钟）
21．[选做题] 在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写
在答题纸的指定区域内.
A.（选修4—1：几何证明选讲）
如图，?O的半径OB垂直于直径AC，D为AO上一点，BD的延长线交?O于点E，过E 点的圆的切线交CA的延长线于P.
B 2求证：PD?PA?PC. D A C · P O
E
B．（选修4—2：矩阵与变换）
?1?1??10??,B?已知矩阵A??2，若矩阵AB对应的变换把直线l：x?y?2?0????02?01??变为直线l'，求直线l'的方程.
C．（选修4—4：坐标系与参数方程） 在极坐标系中，圆C的方程为??42cos(???4)，以极点为坐标原点，极轴为x轴
的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为?被?C截得的弦AB的长度. D.（选修4—5：不等式选讲） 已知x、y、z均为正数，求证：
?x?t?1（t为参数），求直线l?y?t?13111111(??)?2?2?2. 3xyzxyz
[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内. 22．（本小题满分10分）
如图所示,在棱长为2的正方体AC1中,点P、Q分别在棱A1 D1
BC、CD上,满足B1Q?D1P,且PQ?2. (1)试确定P、Q两点的位置.
(2)求二面角C1?PQ?A大小的余弦值.
B1 C1 A B Q P C
第22题
D