安阳师范学院本科学生毕业论文 向量组线性相关性的判定方法
作 者
院（系） 数学与统计学院 专 业 数学与应用数学 年 级 2011级 学 号
指导教师 郭亚梅 论文成绩 日 期 2015年 月 日
学生诚信承诺书
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向量组线性相关性的判定方法
（安阳师范学院 数学与统计学院 河南 安阳 455002）
摘要：向量组线性相关性在高等代数中是一块基石，在它的基础上我们推导和衍生出其他
许多理论。所以熟练地掌握向量组线性相关性的判定方法，可以让我们更好的理解其他理论知识.本文将向量组内向量之间的线性关系、齐次线性方程组的解、矩阵的秩、行列式的值及已知结论等知识运用于向量组线性相关性的判定，进而归纳出判定向量组线性相关性的若干方法.
关键词：向量组 线性相关 线性无关 判定方法 1 引言
线性相关性的内容是线性代数课程中的重点和难点，线性相关性的有关结论，对我们来说是很难理解的.本文总结出了判定向量组线性相关和线性无关的几种方法. 2.1 n维向量的定义
（一维、二维、三维向量，推广到n维向量）
定义： n个有次序的数a1,a2,?,an所组成的数组(a1,a2,?an)或(a1,a2,?an)T分别称为n维行向量或列向量.这n个数称为向量的n个分量? 第i个数ai称为第i个分量?显然，行向量即为行距阵，列向量即为列矩阵.向量通常用黑体小写希腊字母?,?等表示.分量全为实数的向量称为实向量，分量全为复数的向量称为复向量. 2.2 向量的线性运算 行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算? 特别地，向量的加法，向量的数乘，称为向量的线性运算.向量的线性运算满足8条运算律.
全体的n维向量的集合关于线性运算是封闭的，我们将该集合称为n维向量空间（或线性空间）.
例如，全体3维向量的集合；闭区域上的连续函数的集合；一元n次多项式的集合；实数域上可导函数的集合等，皆为向量空间. 3.向量组线性相关性的定义 3.1向量组
有限个或无限个同维数列向量(或同维数的行向量)所组成的集合称为一个向量组? 例如一个m?n矩阵对应一个m维列向量组? 也对应一个n维行向量组
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(a11a22?a1n)(a21a22?a2n)??????(am1am2?amn)3.2.1 线性组合与线性表示
?a11a12?a1n???aa?a?21222n???????? ??aa?a??m1m2mn??a11??a12??a1n???????a?21?,?,?a22?,?a2n?????????? ???a??a???a??m1??m2??mn?3.2向量组的线性相关性的定义
设A:a1,a2,?,am是一向量组? 表达式k1a1?k2a2???kmam称为向量组A的一个线性组合? 其中k1,k2,?,km是一组实数? 称为这个线性组合的系数?
如果向量b是向量组A的线性组合b??1a1??2a2????mam则称向量b能由向量组A线性表示?
例如，任一n维向量，都可以由n维基向量线性表示.
例1. 设向量组b1??1,0,?1?,b2??1,1,1?,b3??3,1,?1?,b4??5,3,1?,试判断b4是否可由
TTTTb1,b2,b3线性表示？如果可以的话，求出一个线性表示式.
解 设一组数k1,k2,k3,使b4?k1b1?k2b2?k3b3,即有
T?5,3,1???k1?k2?3k3,k2?k3,?k1?k2?k3?.
T 由向量相等的定义可得线性方程组
?k1?k2?3k3?5,? ?k2?k3?3,
??k?k?k?1.?123该方程组的一个解为k1?2,k2?3,k3?0. 于是b4?2b1?3b2,即b4由b1,b2,b3线性表示. 定理1 向量b能由向量组A:a1,a2,?,am线性表示的充分必要条件是矩阵A?(a1,a2,?am) 与矩阵B?(a1,a2,?am,b)的秩相等? 即R(A)?R(B)? 3.2.2.向量组线性相关的定义
定义1 向量组A:a1,a2,?,am(m?2)线性相关?在向量组A中至少有一个向量能由其余
m?1个向量线性表示.
定义2 给定向量组A:a1,a2,?,am，m个数k1,k2,?,km,构造k1a1?k2a2???kmam?0, ?*? 如果存在不全为零的数k1,k2,?,km,使?*?式成立，称向量组A是线性相关的? 否则称它线性无关. 这两个定义是等价的. 证明如下：
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如果向量组A中有某个向量(不妨设am)能由其余m?1个向量线性表示? 即有
?1,?2,?,?m?1,使am??1a1??2a2???m?1am?1,
于是?1a1??2a2???m?1am?1?(?1)am?0.
因为?1,?2,?,?m?1,?1不全为0? 所以向量组A线性相关?
反过来，如果向量组A线性相关，则有k1a1?k2a2???kmam?0, 其中k1,k2,?,km不全为0? 不妨设k1?0? 于是a1??(1)(k2a2???kmam),
k1即a1能由a2,?,am线性表示?
例2 判断向量组?1?(2,?1,3,1),?2?(4,?2,5,4),?3?(2,?1,4,?1)是否线性相关.
解：可取?1,?2,?3为未知数，建立下列方程式 ?1?1??2?2??3?3?0,
看它是否有?1,?2,?3的不全为零的解.这是向量等式，按各个分量分别写出方程，就成为下列方程组
?2?1?4?2?2?3?0,????2????0,?123 ?3??5??4??0,23?1???1?4?2??3?0.前面的含向量的方程组有无非零解等价于这个方程组有无非零解.可以用消元法解这个方程组.它有无线多解，当然有非零解，故?1,?2,?3线性相关.特别的一组解，可取为
(?1,?2,?3)?(3,?1,?1),即3?1??2??3?0或?3?3?1??2.
定理2向量组a1,a2,?,am线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵A?(a1,a2,?am)的秩小于向量个数m? 向量组线性无关的充分必要条件是R(A)?m 这是因为?
向量组A:a1,a2,?,am线性相关?x1a1?x2a2???xmam?0 即Ax?0有非零解
?R(A)?m.
向量组a1,a2,?,am线性无关?R(a1,a2,?,am)?m.
例3 证明n维单位坐标向量组e1?(1,0,?,0)T,e2?(0,1,?,0)T,?,en?(0,0,?,1)T线性无关. 证明 我们直接利用定义证明.如果存在一组数k1,k2,?,kn,使得
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