例14 设?1?(1,1,1)T,?2?(1,2,3)T,?3?(1,3,t)T, 问当t为何值时，向量组?1,?2,?3线性相关，并将?3表示为?1和?2的线性组合. 解：利用矩阵的秩有
111111111A???1,?2,?3??123?012?012
13t02t?100t?5可见，当t?5时，向量组?1,?2,?3线性相关，并且有
111101A?012?012,所以?3???1?2?2.
000000利用矩阵的秩与利用齐次线性方程组的解进行判定的出发点不同，但实质上是一样的，都是要利用矩阵的初等行变换将相应的系数矩阵化简为行阶梯形矩阵，从而求出向量组的秩，即系数矩阵的秩，然后再作出判定.
例15 断向量组?1?(2,1,3,?1),?2?(3,?1,2,0),?3?(1,3,4,?2)的线性相关性. 解：以?1,?2,?3为行向量构成矩阵A，并进行初等行变换化为行阶梯形
4?2??134?2??213?1??134?2??13???3?120???0?10?106???0?10?106? A??3?120?????????134?2??213?1??0?5?53??0000?????????则R(A)?2?3向量的个数，故向量组线性相关.
例16 向量组?1,?2,?3,?4线性无关，则下列线性无关的向量组是（）
(A)?1??2,?2??3,?3??4,?4??1;(B)?1??2,?2??3,?3??4,?4??1;(C)?1??2,?2??3,?3??4,?4??1;(D)?1??2,?2??3,?3??4,?4??1.分析 对于抽象给出的向量组，判断或证明其线性相关与线性无关常采用以下方法： （1）定义法 先设k1?1?k2?2???ks?s?0,然后对其作恒等变形，即用某个矩阵同乘该式，或对该式拆项重新组合等，究竟用什么方法应当从已知条件去寻求信息.通过一次或多次恒等变形来分析k1,k2,?,ks能够不全为零还是必须全是0，从而得知?1,?2,?,?s是线性相关还是线性无关.
（2）利用矩阵的秩. 要论证?1,?2,?,?s线性相关或线性无关，可将其构造成矩阵A，
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利用rankA?s或rankA?s来说明.
（3）利用有关结论，特别是等价向量组有相同秩的结论. （4）反证法.
解 法1 观察可知(?1??2)?(?2??3)?(?3??4)?(?4??1)?0，(A)线性相关. (?1??2)?(?2??3)?(?3??4)?(?4??1)?0，
(C)线性相关；
(?1??2)?(?2??3)?(?3?，(D. 0)线性相关?4)?(???)?由排除法可知应选(B).
法2 对(B)，设k1(?1??2)?k2(?2??3)?k3(?3??4)?k4(?4??1)?0，拆项重组为 (k1?k4)?1?(k1?k2)?2?(k2?k3)?3?(k3?k4)?4?0
1?k1?k4?0?k?k?01?12 由?1,?2,?3,?4线性无关知 ? ，由于系数行列式
0?k2?k3?0?0?k3?k4?001100?100?2,所以方1011程组只有零解k1?k2?k3?k4?0,从而(B)线性无关.用此法可知(A),(C),(D)均线性相关. 5.7 利用行列式的值进行判定
若向量组A:?1,?2,?,?m是由m个n维列向量所组成的向量组，且向量组A所构成的矩阵
A?(?1,?2,?,?m)，即A为m阶方阵，则
（1） 当A?0时，则向量组A:?1,?2,?,?m是线性相关的. （2） 当A?0时，则向量组A:?1,?2,?,?m是线性无关的. 若向量组A:?1,?2,?,?m的个数m与维数n不同时，则 （1） 当m?n时，则向量组A:?1,?2,?,?m是线性相关的.
（2） 当m?n时，转化为上述来进行判定，即选取m个向量组成的m维向量组，若此m维
向量组是线性相关的，则添加分量后，得到的向量组也是线性相关的. 例17 已知?1?(1,1,1),?2?(0,2,5),?3?(2,4,7)试讨论?1,?2,?3的线性相关性. 证明：令A?(?1,?2,?3)
102 则A?124?0，所以?1,?2,?3线性相关.
157行列式值的判定实质上是根据克莱姆法则判定以向量组作为系数向量的齐次线性方程组
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是否有非零解，然后再对向量组的线性相关性作出判定，所以能应用行列式值进行判定的向量组，也可以应用矩阵的秩和齐次线性方程组是否有非零解的方法来进行判定. 例18 已知向量组A:?1,?2,?3是线性无关的，且有b1??1??2,b2??2??3,b3??3??1，证明向量组b1,b2,b3线性无关.
证明：设有x1,x2,x3,使得x1b1?x2b2?x3b3?0即 x1(?1??2)?x2(?2??3)?x3(?3??1)?0 整理为 (x1?x3)?1?(x1?x2)?2?(x2?x3)?3?0
?x1?x3?0?因?1,?2,?3是线性无关的，所以?x1?x2?0
?x?x?03?2101由于此方程组的系数行列式110?2?0
011故方程组只有零解x1?x2?x3?0，所以向量组b1,b2,b3线性无关.
例19 已知向量组?1?(1,0,2,3),?2?(1,1,3,5),?3?(1,?1,t?2,1),?4?(1,2,4,t?9)线性相关，试求t的值.
分析 对于具体给出的向量组，判断其线性相关与线性无关常采用以下方法：
（1） 先由定义写出x1?1?x2?2???xs?s?0，再根据向量组相当写出齐次线性方程
组；若该齐次线性方程组有非零解（即无穷多解），则向量组线性相关；若该齐次线性方程组只有零解，则向量组线性无关.
??1????2（2） 排成矩阵A?(?1,?2,?,?s)（列向量时）或A???（行向量时），求A的秩；
???????s?若rankA?s时，向量组线性相关；若rankA?s时，向量组线性无关.
（3） 对于n个n维向量，可同上将其排成矩阵A，用A?0是否成立来判断?1,?2,?,?n是否线性相关.
（4） 利用线性相关的有关结论，如“部分相关，则整体相关”等来判定. 解 t??1或?2.
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23??10??1??10????11??01352???法1 A???????3??1?1t?21??0?1??????124t?9???02?4?213??1?02????t?2??0??2t?6??0013?2??
0t?10??00t?2?21t??1或t??2时，rankA?3?4,?1,?2,?3,?4线性相关.
10231135法2 ?(t?1)(t?2) t??1或t??2时行列式为0.
1?1t?21124t?96.结论
通过以上讨论，我们了解到向量组的线性相关与线性无关的判定较难理解.实际上，向量组的线性相关与线性无关是相对的，我们只要掌握了向量组的线性相关的判定，线性无关的判定也就没有问题了.由以上可以看出，在熟练地理解和掌握了向量组线性相关的定义、定理的基础上，灵活地应用上述几种方法，证明向量组线性相关与线性无关的难点即可获得突破.
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参考文献
[1] 王鄂芳,石生明.高等代数[M].高等教育出版社,2003. [2] 徐仲,陆全.高等代数[M].西北工业大学出版社,2009. [3]蓝以中.高等代数简明教程[M].北京大学出版社，2002.
[4]肖艾平.向量组线性相关性的几种判定方法[J].伊犁师范学院学报（自然科学版），3（2008）:58-59
[5]罗秀芹，董福安，郑铁军，关于向量组的线性相关性的学习探讨[J].高等代数研究，9（2005）：18-19
[6]杨燕新，王文斌.关于向量组线性相关的几种判定[J].山西农业大学学报（自然科学版），3（2005）
[7]黄娟霞.关于向量组线性相关性的初步探讨[J].广东石油化工学院学报，2（2012）:68-69
[8]董秀明.判断向量组的线性相关性与无关性[J].考试周刊，33（2013）:57-58 [9]牛少彰，刘吉佑，线性代数[M].北京：北京邮电大学出版社，2004. [10]钱吉林，高等代数题解精粹[M].北京：中央民族大学出版社，2002.
[11]杨子胥，高等代数习题集（上）（修订版）[M].济南：山东科学技术出版社，2001 [12]钱志强，线性代数教与学参考[M].北京：中国致公出版社，2002.
Methods to determine the correlation between the linear vector group
Hou xuling
(School of Mathematics and Statistics, Anyang Normal University,Anyang,Henan,455002) Abstract:
Correlation between linear vector is a cornerstone in linear algebra, in which on the basis of derivation and derived from our many other theories. So skillfully master the method to
determine the linear dependence of vector group, so that we can have a better understanding of other theoretical knowledge. In this paper, the linear relationship between the homogeneous solution of linear equations, the matrix rank, determinant between vectors in vector value and known conclusions knowledge in vector group by determining the linear correlation, and then sum up some methods of determination of linear vector correlation Key words:
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Vector group The linear correlation Linear independence Judging method
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