k1e1?k2e2???knen?0,
根据向量线性运算的定义可以得到
(k1,k2,?,kn)T?(0,0,?,0)T, 从而k1?k2???kn?0.所以e1,e2,?,en是线性无关的.
另证 我们利用定理，设向量组e1,e2,?,en构成的矩阵为I?(e1,e2,?,en),I是n阶单位矩阵.显然有R(I)?n,即R(I)等于向量组中向量的个数，所以由定理2知向量组I是线性无关的.
TT例4 已知向量a1?(1,1,1)T,a2?(0,2,5),a3?(2,4,7)讨论向量组a1,a2,a3及向量组a1,a2的
线性相关性.
解 对矩阵(a1,a2,a3)施行初等行变换使它变成行阶梯形矩阵，就可以同时看出矩阵(a1,a2,a3)及
(a1,a2)的秩，再利用定理2就可以得出结论.
易知R(a1,a2,a3)?2?3,向量组a1,a2,a3线性相关；R(a1,a2)?2,向量组a1,a2线性无关.
4.向量组线性相关性的性质
（1）含零向量的向量组必线性相关?
线性无关的向量组中一定不含零向量. （2）一个向量?线性相关???0.
一个向量?线性无关???0. (3)两个非零向量?1,?2线性相关??1?k?2.
两个向量?1,?2线性无关?它们不成比例. (4)向量组有一部分线性相关，则全体线性相关. 向量组全体线性无关，则每一部分线性无关.
若向量组A:a1,a2,?,am线性相关? 则向量组B:a1,a2,?,am,am?1也线性相关? 反之? 若向量组B线性无关? 则向量组A也线性无关?
结论可叙述为? 一个向量组若有线性相关的部分组? 则该向量组线性相关? 一个向量组若线性无关? 则它的任何部分组都线性无关?
性质（4）说明：这是因为? 记A?(a1,a2,?,am)?B?(a1,a2,?,am,am?1)?有R(B)?R(A)?1. 若向量组A线性相关? 则有R(A)?m，从而R(B)?R(A)?1?m?1. 因此向量组B线性相关? (5) 个数大于维数时，必线性相关.
个数等于维数时，看行列式.
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m个n维向量组成的向量组? 当维数n小于向量个数m时一定线性相关? 特别地?
n?1个n维向量一定线性相关?
这是因为? m个n维向量a1,a2,?,am构成矩阵An?m?(a1,a2,?,am), 有R(A)?n. 若n?m则R(A)?n?m, 故m个向量a1,a2,?,am线性相关?
(6)设向量组A:a1,a2,?,am线性无关? 而向量组B:a1,a2,?,am,b线性相关? 则向量b必能由向量组A线性表示? 且表示式是唯一的?
这是因为? 记A?(a1,a2,?,am)?B?(a1,a2,?,am,b)?有m?R(A)?R(B)?m?1, 即有R(B)?R(A)?m.因此方程组有唯一解(a1,a2,?,am)x?b 即向量b能由向量组A线性表示? 且表示式唯一? 5.向量组线性相关性的判定方法 5.1定义法
给定向量组A:a1,a2,a3,?,am,如果存在不全为零的数k1,k2,k3,?,km,使得
A是线性相关的.否则，如果不存在不全为零的k1a1?ka2?2??kmam?0成立，则称向量组
数k1,k2,k3,?,km,使得k1a1?k2a2???kmam?0成立，也就是说，只有当k1,k2,k3,?,km全部为0时，k1a1?k2a2???kmam?0才成立，则称向量组A是线性无关的.
例5 设向量组a1,a2,a3线性无关，判断向量组b1?a1?a2,b2?a2?a3,b3?a3?a1的线性相关性.
解 设一组数k1,k2,k3,使k1b1?k2b2?k3b3?0,则有 k1(a1?a2)?k2(a2?a3)?k3(a3?a1)?0, 即
(k1?k3)a1?(k1?k2)a2?(k2?k3)a3?0. 因为向量组a1,a2,a3线性无关，所以
?k1?k3?0,??k1?k2?0, ?k?k?0.3?2该方程组的系数行列式D?2?0,故方程组只有零解k1?k2?k3?0,所以向量组b1,b2,b3线性无关.
例6 判断向量组b1??1,0,?1?,b2??1,1,1?,b3??3,1,?1?,b4??5,3,1?的线性相关性. 解 设一组数k1,k2,k3,k4,使k1b1?k2b2?k3b3?k4b4?0,
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TTTT
比较上式两端向量的对应分量，可得齐次线性方程组
?k1?k2?3k3?5k4?0,? ?k2?k3?3k4?0,
??k?k?k?k?0.?1234 该方程组的一个非零解为k1?2,k2?3,k3?0,k4??1,故向量组b1,b2,b3,b4线性相关. 5.2 利用向量组内向量之间的线性关系判定
定理3 向量组A:a1,a2,a3,?,am线性相关的充要条件是向量组A中至少有一个向量可以由其余m?1个向量线性表示.
定理4 向量组a1,a2,?,am线性无关，而a1,a2,?,am,?线性相关??可由a1,a2,?,am线性表示且表达方式唯一.
定理5 若向量组a1,a2,?,am有一部分向量组线性相关?向量组a1,a2,?,am线性相关.与此等价的一个说法为：向量组a1,a2,?,am线性无关?向量组a1,a2,?,am的任一部分向量组线性无关.
例7 已知?1,?2,?3线性无关，?2,?3,?4线性相关，问：
（1）?4能否由?1,?2,?3线性表示？ （2）?1能否由?2,?3,?4线性表示？
解 （1）由?1,?2,?3线性无关??2,?3线性无关，又由?2,?3,?4线性相关??4能由
?2,?3线性表示且表达方式唯一，所以存在数k2,k3使得
?4?k2???3?30??4?k?2k1，故?k??4能由??1,?2,?3线性表示.
（2）反证法.假设?1能由?2,?3,?4表示，则存在数?1,?2,?3，使得1）?4能由?2,?3线性表示，所以?1能由?2,?3线性表示，所?1??1?2??2???,3又由（?3以?1,?2,?3线性相关，与已知矛盾，故?1不能由?2,?3,?4线性表示. 5.3 利用向量组的秩进行判定
向量组的秩是指向量组中任一个极大无关组所含的向量个数.设向量组为
?1,?2,?,?m,其秩记为R(?1,?2,?,?m)，由极大无关组的定义和秩的定义可得：若向量组的
秩等于向量的个数，则该向量组是线性无关的；若向量组的秩小于向量的个数，则该向量组是线性相关的.
例8 判断向量组?1?(2,2,?1,1,4)T,?2?(2,?1,2,0,3)T,?3?(?1,2,2,?4,2)T的线性相关性. 解 构造3?5矩阵并作初等行变换
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可见rankA?3，故?1,?2,?3线性无关. 5.4 利用反证法进行判定
在有些题目中，直接证明结论有时候比较困难，而从结论的反面入手却很容易推出一些与已知条件或已知定义、定理、公理相矛盾的结果，从而结论的反面不成立，则结论成立.
例9 设向量组?1,?2,?,?m中任一向量?i不是它前面i?1个向量的线性组合，且?i?0，证
明向量组?1,?2,?,?m线性无关.
证明 （反证法）假设向量组?1,?2,?,?m线性相关，则存在不全为零的数k1,k2,?,km使得： k1?1?k2?2???km?m?0， (1) 由此可知km?0，由上式可得
?m??1k(k1?1?k2?2???km?1?m?1)
m即?m可以由它前面m?1个向量线性表示，这与题设矛盾，因此km?0，于是(1)式转化为
k1?1?k2?2???km?1?m?1?0.
类似于上面的证明可得km?1?km?2???k2?0,(1)式转化为k1?1?0.但?1?0，所以k1?0这与k1,k2,?,km不全为零的假设相矛盾，因此向量组线性无关. 例10 设A为n阶矩阵，?为n维列向量，若A??0，但A2??0. 证明：向量组?,A?线性无关. 证明：用反证法.
假设向量组?,A?线性相关，由于A??0，从而??0，则A?可由?线性表出，设为
A??k?(k?0)否则??0，于是A2??A(A?)?A(k?)?kA??k2??0，这与已知A2??0矛
盾，因此向量组?,A?线性无关.
例11 设?1,?2,?,?n是一组n维向量，已知单位坐标向量?1,?2,?,?n可被它们线性表出，证明：?1,?2,?,?n线性无关.
证明：法1 （反证法）若?1,?2,?,?n线性相关，则至少有一?i可由其他?j线性表示（不妨设?n可由?1,?2,?,?n?1线性表示 ）.由题设，?1,?2,?,?n可由?1,?2,?,?n线性表示，从而可由?1,?2,?,?n?1线性表示，而任一n维向量均可由?1,?2,?,?n线性表示，因而也可由
n的秩?1,?2,?,?n?1线性表示.由此得全体n维向量构成的向量集合Rn的秩小于n，这与R 等于n矛盾，故?1,?2,?,?n线性无关.
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法2 设?1,?2,?,?n的秩为r，则r?n,而?1,?2,?,?n的秩为n.由题设，?1,?2,?,?n可由
?1,?2,?,?n线性表出，因此n?r，故r?n.
5.5 利用齐次线性方程组的解进行判定
在应用定义法解一个齐次线性方程组，需由该方程组是否有非零解来判定向量组的线性相关性.即应用定义法的同时就应用了齐次线性方程组的解进行了判定.
对于各分量都给出的向量组?1,?2,?,?m，若以A?[?1,?2,?,?m]为系数矩阵的齐次线性方程组AX?0只有零解向量，则此向量组A:?1,?2,?,?m是线性相关的. 例12 证明向量组?1?(2,1,0,5)T,?2?(7,?5,4,?1)T,?3?(3,?7,4,?11)T线性相关. 证明 ：以?1,?2,?3为系数向量的齐次线性方程组是 x1?1?x2?2?x3?3?0, 即
?2x1?7x2?3x3?0?x?5x?7x?0?123 ?4x?4x?03?2??5x1?x2?11x3?0
利用矩阵的行初等变换将方程组的系数矩阵A化为行阶梯型矩阵，由行阶梯型矩阵可知，
R(A)?2?3,即齐次线性方程组有非零解，所以向量组?1,?2,?3线性相关.
例13 ?i?(ai1,ai2,?,ain),i?1,2,?,n.证明：如果aij?0，那么?1,?2,?,?n线性无关. 证明：设k1?1?k2?2???kn?n?0,得到线性方程组
?a11k1?a21k2???an1kn?0?ak?ak???ak?0?121222n2n ?
?????a1nk1?a2nk2???annkn?0由于系数行列式的转置行列式aij?0，故齐次线性方程组只有零解，从而?1,?2,?,?n线性无关.
5.6 利用矩阵的秩进行判定
设向量组A:?1,?2,?,?m是由m个n维列向量所组成的向量组，则向量组A的线性相关性可由向量组A所构成的矩阵A?(?1,?2,?,?m)的秩的大小来进行判定.即 （1） 当R(A)?m时，则向量组A:?1,?2,?,?m是线性无关的. （2） 当R(A)?m时，则向量组A:?1,?2,?,?m是线性相关的.
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