2006年全国硕士研究生入学考试数学（一）
一、填空题 （1）limxln(1?x)1?cosxx?0?y(1?x)x.
的通解是 .
（2）微分方程y??（3）设?是锥面z? . 22的下侧，则??xdydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy? x?y（0?z?1）
?（4）点(2,1,0)到平面3x?4y?5z?0的距离z= .
?2（5）设矩阵A????11??，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA?B?2E，则B= 2? .
（6）设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间[0, 3]上的均匀分布，则
P?max{X,Y?}1 . ?=
二、选择题
（7）设函数y?f(x)具有二阶导数，且f?(x)?0,f??(x)?0，?x为自变量x在x0处的
增量，?y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若?x?0，则
（A）0?dx??y. （C）?y?dy?0.
?（B）0??y?dy. （D）dy??y?0.
1 【 】
（8）设f(x,y)为连续函数，则?2240d??f(rcos?,rsin?)rdr等于
022
（A）?20dx?1?xxf(x,y)dy.
（B）?20dx?1?x0f(x,y)dy.
2
（C）?20dy?1?yy22f(x,y)dx.
（C）?20dy?1?y02 f(x,y)dx. 【 】
?（9）若级数?an收敛，则级数
n?1??（A）?an收敛.
n?1
（B）?(?1)nan收敛.
n?1 1
??（C）?anan?1收敛.
n?1
（D）?n?1an?an?12收敛. 【 】
（10）设f(x,y)与?(x,y)均为可微函数，且?y(x,y)?0. 已知(x0,y0)是f(x,y)在约
束条件?(x,y)?0下的一个极值点，下列选项正确的是 （A）若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. （B）若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. （C）若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. （D）若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0.
【 】
1（11）设a1,a2,?,a,均为n维列向量，A是m?n矩阵，下列选项正确的是
（A）若a1,a2,?,a,线性相关，则Aa1,Aa2,?,Aa,线性相关. （B）若a1,a2,?,a,线性相关，则Aa1,Aa2,?,Aa,线性无关. （C）若a1,a2,?,a,线性无关，则Aa1,Aa2,?,Aa,线性相关.
（D）若a1,a2,?,a,线性无关，则Aa1,Aa2,?,Aa,线性无关. 【 】 （12）设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的-1倍加到第2
?1?列得C，记P??0?0?1100??0，则 ?1??（A）C?PAP.
（C）C?PAP.
T?1
（B）C?PAP.
（D）C?PAP. 【 】
T?1（13）设A,B为随机事件，且P(B)?0,P(A|B)?1，则必有
（A）P(A?B)?P(A). （C）P(A?B)?P(A).
（B）P(A?B)?P(B).
（D）P(A?B)?P(B). 【 】
22（14）设随机变量X服从正态分布N(?1,?1)，Y服从正态分布N(?2,?2)，且
P{|X??1|?1}?P{|Y??2|?1},
2
（A）?1??2. （C）?1??2. 三 解答题 15 设区域D=
（B）?1??2.
（D）?1??2. 【 】
??x,y?x2?y?1,x?0,计算二重积分I?2???1?xD1?xy2?y2dxdy 。
16 设数列?xn?满足0?x1??,x??1?sinxn?n?1,2,...? 。 求: (Ⅰ)证明limxn存在,并求之 。
x??1?xn?1?xn(Ⅱ)计算lim?? 。 x???xn?217 将函数f?x??18 设函数?z?x22x2?x?x2展开成x的幂级数 。
z?ff?u?在?0??,?内具有二阶导数且,?x?y22?满足等式
??z?y22?0
(Ⅰ)验证f???u??f??u?u?0.
(Ⅱ)若f?1??0,f??1??1,求函数f?u?的表达式.
19 设在上半平面D=??x,y?y?0?内,数f?x,y?是有连续偏导数,且对任意的t>0都有f?tx,ty??tf?x,y?.
2证明: 对L内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有??yf?x,y?dx?xf?x,y?dy?0
220 已知非齐次线性方程组
?x1?x2?x3?x4??1??4x1?3x2?5x3?x4??1有3个线性无关的解 ?ax?x?3x?bx?1234?1Ⅰ证明方程组系数矩阵A的秩r?A??2 Ⅱ求a,b的值及方程组的通解
21 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量?1???1,2,?1?,?2??0,?1,1?是线
TT 3
性方程组Ax=0的两个解, (Ⅰ)求A的特征值与特征向量 (Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得QTAQ?A.
?1?2,?1?x?0??1222 随机变量x的概率密度为fx?x???,0?x?2令y?x,F?x,y?为二维随机变量
?4?0,其他??(X,Y)的分布函数.
(Ⅰ)求Y的概率密度fY?y? (Ⅱ)F????1?,4? 2?0?x?1???23 设总体X的概率密度为F?X,0???1??1?x?2其中?是未知参数?0???1?,
?0其它?X1,X2...,Xn为来自总体X的简单随机样本,记N为样本值x1,x2...,xn中小于1的个数,求?的最大似然估计.
4
题解 高数 一、填空题 （1）limxln(1?x)1?cosxx?0= 2
12x（当x?0时）
2?ln(1?x)?x,1?cosx?（2）微分方程y??y(1?x)x的通解是y?cxe?x(x?0)，这是变量可分离方程。
（3）设?是锥面Z=x2?y2(0?Z?1)的下侧，则
??xdydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy??2?
?x2?y2?1 补一个曲面?1:?上侧
z?1?P?x,?P?x?Q?y?Q?2y,?R?z?R?3(z?1)
???1?2?3?6
∴
??????1???6dxdydz（?为锥面?和平面??1所围区域）
?6V（V为上述圆锥体体积） ?6??3?2?
而???dydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy?0
?1（∵在?1上：z?1,dz?0）
（4）点(2,1,0,)到平面3x?4y?5z?0的距离d?3?2?4?13?4?52222
d??1050?22?2
二、选择题
（7）设函数y?f(x)具有二阶导数，且f?(x)?0，f??(x)?0，?x为自变量x在x0处的增量，?y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分。若?x?0，则[A] (A)0?dy??y(B)0??y?dy(C)?y?dy?0(D)dy??y?0
因为f?(x)?0,则f(x)严格单调增加 f??(x)?0,则f(x)是凹的 又?x?0,故0?dy??y
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