① 证明此方程组的系数矩阵A的秩为2.
② 求a,b的值和方程组的通解.
解:① 设?1,?2,?3是方程组的3个线性无关的解,则?2-?1,?3-?1是AX=0的两个线性无关的解.于是AX=0的基础解系中解的个数不少于2,即4-r(A)?2,从而r(A)?2.
又因为A的行向量是两两线性无关的,所以r(A)?2.
两个不等式说明r(A)=2.
② 对方程组的增广矩阵作初等行变换:
1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1 (A|?)= 4 3 5 -1 -1 ? 0 –1 1 –5 3 , a 1 3 b 1 0 0 4-2a 4a+b-5 4-2a 由r(A)=2,得出a=2,b=-3.代入后继续作初等行变换:
1 0 2 -4 2 ? 0 1 -1 5 -3 . 0 0 0 0 0 得同解方程组
x1=2-2x3+4x4，
x2=-3+x3-5x4，
求出一个特解(2,-3,0,0)T和AX=0的基础解系(-2,1,1,0)T,(4,-5,0,1) T.得到方程组的通解:
(2,-3,0,0)T+c1(-2,1,1,0)T+c2(4,-5,0,1)T, c1,c2任意.
(21) 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和都为3,向量?1=(-1,2,-1)T,??2=(0,-1,1)T都是齐次线性方程组AX=0的解.
① 求A的特征值和特征向量.
② 求作正交矩阵Q和对角矩阵?,使得 Q TAQ=?.
解:① 条件说明A(1,1,1)T=(3,3,3)T,即 ?0=(1,1,1)T是A的特征向量,特征值为3.又?1,?2都是AX=0的解说明它们也都是A的特征向量,特征值为0.由于?1,?2线性无关, 特征值0的重数大于1.于是A的特征值为3,0,0.
属于3的特征向量:c?0, c?0.
属于0的特征向量:c1?1+c2?2, c1,c2不都为0.
② 将?0单位化,得?0=(
33,
33,
33)T.
对?1,?2作施密特正交化,的?1=(0,-
22,
22)T,??2=(-
63,
66,
66)T.
作Q=(?0,?1,?2),则Q是正交矩阵,并且 3 0 0 Q TAQ=Q-1AQ= 0 0 0 . 0 0 0
11
概率
（6）
19
（13）C （14）A （22）
?1?2,?1?x?0??1随机变量X的概率密度为fX(x)??,0?x?2，令Y?X2，F(x,y)为二维随机变量
?4?0,其他??的分布函数。 （X,Y）（Ⅰ）求Y的概率密度；（Ⅱ）F(?解：
0,y?0???(1)式,0?y?1 ?y)??(2)式,1?y?4??1,4?y?1yy12,4)
（Ⅰ）FY(y)?P(Y?y)?P(X20 (1)式?P(?y?X?y)???02dx??40y1dx?34y；
(2)式?P(?y?X?y)??1?21dx??014dx?12?14y。
?3,0?y?1?8y??1所以：fY(y)?FY'(y)??,1?y?4
?8y?0,其他??这个解法是从分布函数的最基本的概率定义入手，对y进行适当的讨论即可，在新东方的辅导班里我也经常讲到，是基本题型。
（Ⅱ）
F(?12,4)12,Y?4)?P(X??12,X2?P(X???4)?P(X??12,?2?X?2)?P(?2?X??12) 12
?12??1?21dx?14。
（23）
??,0?x?1?设总体X的概率密度为f(x,?)??1??,1?x?2，其中?是未知参数（0
?0,其他?记N为样本值x1,x2,?xn中小于1的个数。求X1,X2,?Xn为来自总体的简单随机样本，?的最大似然估计。
解：
对样本x1,x2,?xn按照<1或者≥1进行分类：xxpN?1,xpN?2,?xpn≥1。
p1,xp2,?xpN<1，
??似然函数L(?)???N(1??)n?N，xp1,xp2,?xpN?1,xpN?1,xpN?2,?xpn?10,其他，
在xp1,xp2,?xpN<1，xpN?1,xpN?2,?xpn≥1时，
lnL(?)?Nln??(n?N)ln(1??)， dlnL(?)d??N?n?N1???0，所以?最大?Nn?。
13