?(8)设f(x,y)为连续函数,则?240d??f(rcos?,rsin?)rdr等于[C]021
(A)?(C)?2022dx?dy?1?xx2f(x,y)dy(B)?(D)?202dx?dy?1?x02f(x,y)dy21?yy20f(x,y)dx201?y0f(x,y)dx
?(9)若级数?an收敛,则级数n?1??[D]n(A)(C)?n?1?n?1an收敛an?1收敛(B)(D)?(?1)n?1?an收敛?
(??an?1也收敛)n?1?an?n?1an?an?12收敛
(10)设f(x,y)与?(x,y)均为可微函数,且??(x,y)?0,已知(x0,y0)是f(x,y)y在约束条件?(x,y)?0下的一个极值点,下列选项正确的是[D](A)若fx?(x0,y0)=0,则fy?(x0,y0)=0(C)若fx?(x0,y0)?0,则fy?(x0,y0)=0(B)若fx?(x0,y0)=0,则fy?(x0,y0)?0(D)若fx?(x0,y0)?0,则fy?(x0,y0)?0构造格朗日乘子法函数F=f(x,y)???(x,y)?(x,y)?0?Fx?=fx?(x,y)???x??=fy?(x,y)????(x,y)?0?Fyy??=?(x,y)?0?F?今??(x0,y0)?0,????y(1)(2)
fy?(x0,y0)??(x0,y0)y代入(1)得fx?(x0,y0)?故选[D]?(x0,y0)fy?(x0,y0)?x??(x0,y0)y今fx?(x0,y0)?0,则fy?(x0,y0)?0
三、解答题
(15)设区域D?(x,y)x?y?1,x?0,计算二重积分I?解:?22???1?xD1?xy2?y2dxdy???1?xDxy2?y2dxdy?0?10
r1?r2I???1?xD12?ydxdy?2?2??2d??dr??2ln(1?r)210??2ln2
6
(16)设数列?xn?满足0?x1??,xn?1?sinxn(n?1,2,?)求(1)证明limxn存在,并求之n??(2)计算lim(n??xn?1xn1)xn2
解:(1)?x2?sinx1,?0?x2?1,因此当n?2时xn?1?sinxn?xn,?xn?单调减少又xn?0,??xn?有下界，根据准则1,limxn?A存在,递推公式两边取极限得n??A?sinA,?A?0
sinxnxn1(2)原式=lim(n??)x2n,为\\型
??离散型不能直接用洛必达法则
sintt1lim1ln(sintt)先考虑lim(t?0)t2?et?0t2
?t2??t3?23t?1??0(t)???t??0(t)?2???????6?2t3limt?012t?1sintt?(tcost?sint)t216limtcost?sint2t3?212lim?e?et?0?et?0?e?e?16
(17)将函数f(x)?x2?x?x2展开成x的幂极数
解:f(x)?x(2?x)(1?x)?A2?x?B1?x
3A?2,A?23A(1?x)?B(2?x)?x令x??1,3B??1,令x?2,B??13
1(1?x2)?13?1[1?(?x)]f(x)?23x?1(2?x)1??13?1(1?x)??13?
?1?()??(?1)x??3n?023n?0nnn?n?01?1n?1?n?(?1)x,n??3?2?x?1
（18）设函数f(u)在(0,??)内具有二阶导数，且Z?f?z?x22?x?y22?满足等式
??z?y22?0
7
（I）验证 f??(u)?f?(u)u?0
（II）若f(1)?0,f?(1)?1 求函数f(u)的表达式 证：（I）
?z?x?f??2x?y22?x2xx?y22;?z?y?f??2x?y22?2yx?y22
22
?z?x22?f???2x?y2??xx222x?y?2x22?y??f??x?y2?y22x?y?x2?y?
?f???x?y2??x2?y2?y?f??x?y22??x2?y?32
同理?z?y22?f???x?y22??x222?y??f??x?y22?x22?x22?y?32
代入?z?x22??z?y22?0得f??
?x?y22??22f?(x?y)x?y2?0
?f??(u)?f?(u)u?0成立 （II）令f?(u)?p,则dpdu??pu;?cudpp???duu?c
lnp??lnu?c,?f?(u)?p?
?f?(1)?1,c?1,f(u)?ln|u|?c2,由f(1)?0,得c2?0于是f(u)?ln|u|
8
（19）设在上半平面D??(x,y)|y?0?内，函数f(x,y)具有连续偏导数，且对任意t?0都有f(tx,ty)?t?2f(x,y)
证明：对D内任意分段光滑的有向简单闭曲线L，
都有??yf(x,y)dx?xf(x,y)dy?0
L证：把f(tx,ty)?t?2f(x,y)两边对t求导 得：xfx?(tx,ty)?yfy?(tx,ty)??2tf(x,y) 令 t?1，则xfx?(x,y)?yfy?(x,y)??2f(x,y) 再令 P?yf(x,y),Q??xf(x,y)
?Q?x?P?y所给曲线积分等于0的充分必要条件为
?Q?x?
今
?f(x, y)??f(x,y)?xx
?P?y?f(x,y)??f(x, y)yy要求
?Q?x??P?y成立，只要xfx?(x,y)?yfy?(x,y)??2f(x,y)
我们已经证明，?
?Q?x??P?y，于是结论成立。
9
线代
(5) 设A= 2 1 ,2阶矩阵B 满足BA=B +2E,则|B|= . -1 2 解:由BA=B +2E化得B(A-E)=2E,两边取行列式,得
|B||A-E|=|2E|=4, 计算出|A-E|=2,因此|B|=2.
(11)设?1,?2,…,?s 都是n维向量，A是m?n矩阵，则（ ）成立. (A) 若?1,?2,…,?s线性相关,则A?1,A?2,…,A?s线性相关. (B) 若?1,?2,…,?s线性相关,则A?1,A?2,…,A?s线性无关. (C) 若?1,?2,…,?s线性无关,则A?1,A?2,…,A?s线性相关. (D) 若?1,?2,…,?s线性无关,则A?1,A?2,…,A?s线性无关. 解: (A)
本题考的是线性相关性的判断问题,可以用定义解.
若?1,?2,…,?s线性相关,则存在不全为0的数c1,c2,…,cs使得
c1?1+c2?2+…+cs?s=0, 用A左乘等式两边,得
c1A?1+c2A?2+…+csA?s=0,
于是A?1,A?2,…,A?s线性相关.
如果用秩来解,则更加简单明了.只要熟悉两个基本性质,它们是: 1.??1,?2,…,?s?线性无关? r(?1,?2,…,?s?)=s.?2. r(AB)? r(B).
矩阵(A?1,A?2,…,A?s)=A(??1,??2,…,?s?),因此
r(A?1,A?2,…,A?s)? r(?1,??2,…,?s?).
由此马上可判断答案应该为(A).
(12)设A是3阶矩阵,将A的第2列加到第1列上得B,将B的第1列的-1倍加到第2列上得C.记 1 1 0 P= 0 1 0 ,则 0 0 1 (A) C=PAP. (B) C=PAP. (C) C=PTAP. (D) C=PAPT. 解: (B)
用初等矩阵在乘法中的作用得出
-1
-1
B=PA ,
1 -1 0 C=B 0 1 0 =BP-1= PAP-1.
0 0 1
(20)已知非齐次线性方程组 ??????????????????????x1+x2+x3+x4=-1, 4x1+3x2+5x3-x4=-1，
??????????? ax1+x2+3x3+bx4=1 有3个线性无关的解.
10