分析： （Ⅰ）利用圆心O到直线l的距离d==即可求得k，从而可得直线l的方程； （Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由理可求得x1+x2=﹣得：（1+2k）x+4kmx+2m﹣2=0，利用韦达定22222，又△POQ重心恰好在圆x+y=上，可求得222+=4，化简可求得m=，△＞0?1+2k＞m，二者联立即可求得m的范围． 解答： 解：（Ⅰ）左焦点坐标为F（﹣1，0），设直线l的方程为y=k（x+1），由∠AOB=60°得，圆心O到直线l的距离d=又d=∴=， ，解得k=±． ， ∴直线l的方程为y=±（x+1）． 222（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由由△＞0得：1+2k＞m…（⊕），且x1+x2=﹣∵△POQ重心恰好在圆x+y=上， ∴即∴++﹣22222得：（1+2k）x+4kmx+2m﹣2=0． ． =4， =4，即（1+k）+4m=4，化简得：m=22+4km（x1+x2）+4m=4． ，代入（⊕）式得：k≠0， 2又m=2=1+=1+． ∵k≠0， 2∴m＞1， ∴m＞1或m＜﹣1． 点评： 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查点到直线间的距离公式，突出考查韦达定理的应用，考查转化思想与逻辑思维与运算能力，属于难题． 22．（15分）已知
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x
（Ⅰ）判断曲线y=f（x）在x=0的切线能否与曲线y=e相切？并说明理由； （Ⅱ）若x∈[a，2a]求f（x）的最大值； （Ⅲ）若f（x1）=f（x2）=0（x1＜x2），求证：
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考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；函数单调性的性质；利用导数求闭区间上函数的最值． 专题： 压轴题；导数的综合应用． 分析： （Ⅰ）求出曲线y=f（x）在x=0的切线方程，假设切线与曲线y=ex相切，设出切点，由斜率相等及切点在切线上联立推出矛盾； （Ⅱ）求出函数f（x）的导函数，由导函数的零点对定义域分段，利用函数的单调性求出函数在[a，2a]上的最大值； （Ⅲ）由（Ⅱ）知函数f（x）先增后减，有最大值，若f（x1）=f（x2）=0（x1＜x2），则最大值大于0，又f（a）＞0且a＜alna，所以得到x2﹣x1＞alna﹣a，把x1，x2代入原函数得到作比后利用放缩可证得要求证的不等式． 解答： （Ⅰ）解：由，得：=﹣1． ∴曲线y=f（x）在x=0的切线l的方程为． ，，，则，f（0）若l与曲线y=e相切，设切点为（x0，y0），则x①． 由a＞0，得：0＜由①得，∴x0＜0， ．与x0＜0矛盾． x∴曲线y=f（x）在x=0的切线不能与曲线y=e相切． （Ⅱ）解：令f（x）=0，得′′′，即x=alna． 由f（x）＞0，得x＜alna，由f（x）＜0，得：x＞alna． ∴f（x）在（﹣∞，alna]上为增函数，在[alna，+∞）上为减函数． ∴当a＞alna，即a＜e时，f（x）max=f（a）=a﹣e． 2当a≤alna≤2a，即e≤a≤e时，f（x）max=f（alna）=alna﹣a． 2当2a＜alna，即a＞e时，． （Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知f（x）max=f（alna）=alna﹣a． ∵f（x1）=f（x2）=0，∴f（x）max=f（alna）=alna﹣a＞0． ∴lna＞1，得：a＞e，∴f（a）=a﹣e＞0，且f（alna）＞0． 得x2﹣x1＞alna﹣a，又∴，， ． 点评： 本题考查了利用导数求曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数在闭区间上的最值，利用了分类讨论的数学思想，特别是（Ⅲ）的证明涉及到放缩法的思想，是该题的难点所在，此题属有一定难度问题．