2-4指数与指数函数 基础巩固强化
1.(文)若点(a,9)在函数y＝3的图象上，则tanA．0 B.[答案] D
[解析] 由点(a,9)在函数y＝3图象上知3＝9， 即a＝2，所以tan
xaxaπ
6
的值为( )
3
C. 1 D.3 3
aπ
π
＝tan＝3. 63
|2x－4|
(理)若函数f(x)＝a1
(a>0，a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是( )
9
A．(－∞，2] B．[2，＋∞) C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2] [答案] B
112
[解析] 由f(1)＝得a＝，
9911|2x－4|
∵a>0，∴a＝，即f(x)＝().
33
由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增， 所以f(x)在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减．故选B.
2．(2012·浙江湖州第二次质检)已知图甲是函数y＝f(x)的图象，则图乙中的图象对应的函数可能是( )
A．y＝f(|x|) B．y＝|f(x)| C．y＝－f(－|x|) D．y＝f(－|x|) [答案] D
[解析] 由图乙可知，该函数为偶函数，且x<0时，其函数图象与函数f(x)的图象相同，即该函数图
??f象的解析式为y＝?
?f?
x， x<0，
－x， x≥0，
即y＝f(－|x|)，故应选D.
121x3．(2012·北京文，5)函数f(x)＝x－() 的零点个数为
2( )
A．0 B．1 C．2 D．3 [答案] B
1xx1x[解析] 函数f(x)＝x－()的零点个数即为方程x2＝()
22
1211
的实根个数，在平面直角坐标系中画出函数y＝x和y＝()x的图象，易得交点个数为1个．
2
[点评] 本题考查函数零点问题和指数函数与幂函数的图象．
1122－56－56－5
4．(文)三个数P＝() ，Q＝() ，R＝() 的大小顺序是( )
555A．Q 21 －－66x[解析] 由于当a>1时，y＝a为R上的增函数，故()5 <()5 ，则排除A、C、D，选B.对于A 5511 －－62xx选项，∵01，但当a>1时，对x<0，a<1，故()5 <()5 . 55 12?1?0.50.5 (理)设a＝??，b＝0.3，c＝log0.30.2，则a、b、c的大小关系是( ) ?2? A．a>b>c B．a [解析] y＝x在(0，＋∞)上是增函数，1>>0.3， 2∴1>a>b，又y＝log0.3x在(0，＋∞)上为减函数， ∴log0.30.2>log0.30.3＝1，即c>1，∴b D．a ?1?x5．已知f(x)＝??，若f(x)的图象关于直线x＝1对称的图象对应的函数为g(x)，则g(x)的表达式 ?3? 为( ) ?1?x?1?1－x C．y＝?1?2＋x D．y＝3x－2 A．y＝?? B．y＝???3? ?3??3??? [答案] D [解析] 设P(x，y)是函数g(x)图象上任一点，则P关于直线x＝1的对称点(2－x，y)在函数f(x) ?1?2－xx－2 的图象上，∴y＝??，即g(x)＝3. ?3? ??log2x x>0， 6．(文)已知函数f(x)＝?x??2 x≤0. 1 若f(a)＝，则实数a＝( ) 2 A．－1 B.2 C．－1或2 D．1或－2 [答案] C 11a[解析] 当a>0时，log2a＝，∴a＝2；当a<0时，2＝，∴a＝－1，选C. 22 1x(理)(2013·四川内江市一模)已知a是f(x)＝2－logx的零点，若0 D．f(x0)的符号不确定 1x[解析] 如图，在同一坐标系中，画出函数y＝2与y＝logx的图象，其交点P的横坐标为a,0 3 7．设函数f(x)＝a－|x| (a>0且a≠1)，若f(2)＝4，则f(－2)与f(1) 的大小关系是________． [答案] f(－2)>f(1) 1－2 [解析] 由f(2)＝a＝4，解得a＝， 2∴f(x)＝2，∴f(－2)＝4>2＝f(1)． 8．(2011·厦门质检)方程9－6·3－7＝0的解是________． [答案] log37 [解析] 9－6·3－7＝0?(3)－6·3－7＝0， ∴3＝7或3＝－1(舍去)．∴x＝log37. ??3e 9．(文)已知f(x)＝?2 ??log3x－6x－1 xxxxx2 xxx|x| x<3， x≥3. 则f(f(3))的值为________． [答案] 3 [解析] f(3)＝log3(3－6)＝1，f(f(3))＝f(1)＝3e x2 1－1 ＝3. (理)(2012·衡水模拟)已知函数f(x)＝|2－1|，a ①a<0，b<0，c<0; ②a<0，b≥0，c>0； ③2<2 ④2＋2<2. [答案] ④ [解析] 作出函数f(x)＝|2－1|的图象如图中实线所示．又a x－ac; acf(a)>f(c)>f(b)，结合图象知f(a)<1，a<0，c>0，∴0<2a<1，∴f(a)＝ |2－1|＝1－2， ∴f(c)<1，∴0 3(1)求f(x)的单调区间； 9 (2)若f(x)的最大值等于，求a的值． 4 [分析] 这是一个复合函数判定单调性的问题，解题时先找出构成复合函数的简单函数，分别考虑它9 们的单调性，再求f(x)的单调区间，最后利用单调性考虑何时取到最大值，从而建立a的方程求出a. 4 2t[解析] (1)令t＝|x|－a，则f(x)＝()， 3 不论a取何值，t在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增， acaccccaa2t又y＝()是单调递减的， 3 因此f(x)的单调递增区间是(－∞，0]， 单调递减区间是[0，＋∞)． (2)由(1)知，f(x)在x＝0处取到最大值， 2－a9 ∴f(0)＝()＝，∴a＝2. 34 能力拓展提升 11.(2011·湖北理，6)已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝a－a＋2(a>0，且a≠1)，若g(2)＝a，则f(2)＝( ) 1517 A．2 B. C. 44[答案] B [解析] ∵f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，∴由f(x)＋g(x)＝a－a＋2得，f(－x)＋g(－x)＝a－a＋2，解得f(x)＝a－a，g(x)＝2， 15x－x又g(2)＝a，∴a＝2，∴f(x)＝2－2，∴f(2)＝. 4 12．(文)已知f(x)＝a，g(x)＝b，当f(x1)＝g(x2)＝3时，x1>x2，则a与b的大小关系不可能成立的．．．．．是( ) A．b>a>1 B．a>1>b>0 C．0 [解析] ∵f(x1)＝g(x2)＝3，∴ax1＝bx2＝3， ∴x1＝loga3，x2＝logb3， 当b>1>a>0时，x1<0，x2>0不满足x1>x2. 1a1b(理)已知实数a、b满足等式()＝()，下列五个关系式：①0 A．1个 B．2个 C．3个 [答案] B 1x1x[解析] 在同一坐标系中作出函数y＝()，y＝() 32的图象，如图． 1a1b当x<0时，∵()＝()，∴a 231a1b当x>0时，()＝()，则有0 23故③④不成立，故选B. 13．(文)若关于x的方程4＋(1－a)·2＋4＝0有实数解，则实数a的取值范围是( ) A．(－∞，5] B．[5，＋∞) C．[4，＋∞) D．(－5,5] xxxxxx－xx－xD．a 2 x－x－xD．b>1>a>0 D．4个 [答案] B 4x[解析] a－1＝2＋x≥22 44xx2·x＝4等号在2＝x，即x＝1时成立，∴a≥5. 22 x(理)(2011·襄阳一调)用min{a，b，c}表示a、b、c三个数中的最小值，设f(x)＝min{2，x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为( ) A．7 B．6 C．5 D．4 [答案] B 2 0≤x≤2，?? [解析] 解法1：函数f(x)＝?x＋2 2 ??10－x x>4. x 由于函数在区间[0,2]上单调递增，在区 间(2,4]上单调递增，在点x＝2处两段的函数值相等，故函数在区间[0,4]上单调递增，函数在区间(4，＋∞)上单调递减，又在点x＝4处两段上的函数值相等，故x＝4是函数的最大值点，函数的最大值是f(4)＝6.故选B. 解法2：画出y＝2，y＝x＋2，y＝10－x的图象如图，根据函数f(x)＝min{2，x＋2,10－x}的意义，函数f(x)的图象是由上面三个函数图象位于最 下方的图象组成的，观察图象可知，当0≤x≤2时，f(x)＝2，当2 14．(2012·杭州第一次质检)若函数 1??，x<0， f(x)＝?x??2－x，x≥0，[答案] {1} 1 [解析] 方程f(x)＝可化为， 2 xxx 1 则方程f(x)＝的解集为________． 2 x<0，???11＝，??x2 x≥0，?? 或?－x1 2＝，?2? 解之得，x＝1. 12 15．已知函数f(x)＝()ax－4x＋3. 3(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)有最大值3，求a的值． 12 [解析] (1)当a＝－1时，f(x)＝()－x－4x＋3， 3令g(x)＝－x－4x＋3， 由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增， 在(－2，＋∞)上单调递减， 1t而y＝()在R上单调递减， 3 所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减， 2