在(－2，＋∞)上单调递增，
即函数f(x)的递增区间是(－2，＋∞)， 递减区间是(－∞，－2)．
1h(x)2
(2)令h(x)＝ax－4x＋3，y＝()，
3
由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，
a>0，??
因此必有?12a－16
＝－1，??4a
x解得a＝1，
即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.
122
[点评] 讨论f(x)＝()－x－4x＋3的单调区间时，可化为f(x)＝3x＋4x－3讨论，也可利用导数
3讨论．
16．(文)已知f(x)＝
(a－a)(a>0且a≠1)． a－1
2
a－x(1)判断f(x)的奇偶性； (2)讨论f(x)的单调性；
(3)当x∈[－1,1]时，f(x)≥b恒成立，求b的取值范围．
[分析] (1)判断奇偶性应先求定义域后计算f(－x)，看是否等于f(x)(或－f(x))； (2)可用单调性定义，也可用导数判断f(x)的单调性；
(3)b≤f(x)恒成立，只要b≤f(x)min，由f(x)的单调性可求f(x)min. [解析] (1)函数定义域为R，关于原点对称． 又因为f(－x)＝
(a－a)＝－f(x)， a－1
2
a－xx所以f(x)为奇函数．
(2)当a>1时，a－1>0，y＝a为增函数，y＝a为减函数，从而y＝a－a为增函数，所以f(x)为增函数．
当0
22
x－xx－xy＝ax为减函数，y＝a－x为增函数，从而y＝ax－a－x为减函数，所以f(x)为增函数．
故当a>0，且a≠1时，f(x)在定义域内单调递增． (3)由(2)知f(x)在R上是增函数，
∴在区间[－1,1]上为增函数，∴f(－1)≤f(x)≤f(1)， ∴f(x)min＝f(－1)＝aa2－1
(a－a)＝
－1
aa2－1
·1－a2
a＝－1.
∴要使f(x)≥b在[－1,1]上恒成立，则只需b≤－1，故b的取值范围是(－∞，－1]．
?1?x2
(理)已知函数f(x)＝??，x∈[－1,1]，函数g(x)＝f (x)－2af(x)＋3的最小值为h(a)．
?3?
(1)求h(a)；
(2)是否存在实数m、n，同时满足以下条件： ①m>n>3；
②当h(a)的定义域为[n，m]时，值域为[n，m]． 若存在，求出m、n的值；若不存在，说明理由．
22
?1?x?1?[分析] (1)由f(x)＝??的单调性可求出f(x)的值域，g(x)是以f(x)为变元的二次函数，令t＝???3??3?
x，可求关于t的二次函数的最小值h(a)．
(2)由(1)知当m>n>3时h(a)的表达式，考察h(a)在[n，m]上的单调性，结合其值域[n，m]，可列出
2
2
关于m，n的方程组求解m，n，如果有解则所求实数m，n存在，否则不存在．
?1?x?1?[解析] (1)因为x∈[－1,1]，所以??∈?，3?.
?3??3?
?1?x?1?222设??＝t，t∈?，3?，则g(x)＝φ(t)＝t－2at＋3＝(t－a)＋3－a. ?3??3?
1
当a<时，h(a)＝φ
3
?1?＝28－2a； ?3?93??
12
当≤a≤3时，h(a)＝φ(a)＝3－a； 3当a>3时，h(a)＝φ(3)＝12－6a.
??所以h(a)＝??1?3－a ?≤a≤3?，
?3?
??12－6a a>3.
2
282a?1?
－ ?a
2
(2)因为m>n>3，a∈[n，m]，所以h(a)＝12－6a.
因为h(a)的定义域为[n，m]，值域为[n，m]，且h(a)为减函数，
??12－6m＝n，所以?2
?12－6n＝m.?
2
2
两式相减得6(m－n)＝(m－n)(m＋n)，因为m>n，所以m－n≠0，得m＋n＝6，
但这与“m>n>3”矛盾，故满足条件的实数m、n不存在．
[点评] 解题关键在于利用换元的思想方法，将问题转化为二次函数在闭区间上的最值问题，然后通过分类讨论求出函数的最值．对于存在性问题，往往是首先假设符合条件的参数存在，然后根据给出的条件进行推理求解，若不能推出矛盾，则说明符合要求的参数存在，否则说明符合要求的参数不存在．
1．如图是一个算法的程序框图，当输入x的值为3时，输出y的结果1
恰好为，则？处的关系式是( )
3
13x －xA．y＝log9x B．y＝3C．y＝3 D．y＝x [答案] B
[解析] 输入x＝3≤0不成立，故x＝3－2＝1,1≤0不成立，故x＝1－2＝－1，－1≤0成立，执行？1
后输出y＝，故选B.
3
2．下列大小关系正确的是( ) A．0.4<3 [解析] 根据指数函数和对数函数的性质，0<0.4<1,3>1，log40.3<0，故有log40.3<0.4<3. e＋e 3．函数y＝x－x的图象大致为( ) e－e x－x3 0.4 3 0.4 3 0.4 3 0.4 B．0.4 0.4 3 30.4 [答案] A e＋ee＋12 [解析] 函数有意义，需e－e≠0，即x∈{x|x≠0}，排除答案C、D；又y＝x＝1＋2x，－x＝2xe－ee－1e－1 x－xx－x2x当x>0时为减函数，排除B，故选A. ?1?4．设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x＝1对称，且当x≤1时，f(x)＝??x＋1，则有( ) ?2??1??5??5??5??5??1?A．f?? [答案] A [解析] 由条件知，f(x)在[1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1]上单调递减，又x＝1为其对称轴， ?1??1??1??3?∴f??＝f?1－?＝f?1＋?＝f??， ?2??2??2??2??3??5??5??1??5??5?∴f?? 故选A. 5．在同一坐标系中画出函数y＝logax，y＝a，y＝x＋a的图象，可能正确的是( ) x [答案] D [解析] 对于A，y＝x＋a中，01，∴y＝logax单调增，与图象不符，排除B、C，因此选D. 1??x，x<0， 6．若函数f(x)＝? ?1?，x≥0.?????3? x 1 则不等式|f(x)|≥的解集为________． 3 [答案] [－3,1] [解析] f(x)的图象如图． 11 |f(x)|≥?f(x)≥， 331 或f(x)≤－. 3 x≥0，?? ∴??1?x1 ??≥，???3?3 x<0，?? 或?11 ≤－，?3?x ∴0≤x≤1或－3≤x<0，∴解集为{x|－3≤x≤1}． 1?1?x7．函数f(x)的定义由程序框图给出，程序运行时，输入h(x)＝??，φ(x)＝log2x，则f()＋f(4) 2?2?的值为________． 15 [答案] － 16 ??φ[解析] 由程序框图知f(x)＝? ??hx， hx>φx，x， hx≤φx. 2?1??1?1?1??1?∵h??＝??＝，φ??＝－1，∴f??＝－1， ?2??2?22?2??2?11∵h(4)＝，φ(4)＝2，∴f(4)＝， 1616115?1?∴f??＋f(4)＝－1＋＝－. 1616?2? 8．(2012·乌鲁木齐地区诊断)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)在[－3，－2]上为减函数，则在锐角△ABC中，有( ) A．f(sinA)>f(cosB) C．f(sinA)>f(sinB) [答案] A [解析] 由题知偶函数f(x)的周期为2，所以f(x)在[－1，0]上为减函数，故偶函数f(x)在[0,1]上πππ 为增函数，因为A＋B>，所以>A>－B>0,1>sinA>cosB>0.于是f(sinA)>f(cosB)，故选A. 222 B．f(sinA)