因而右端体积分为零。但是右端被积函数代表能量，只可能大于或等于零，因此获知
wmav(r)?weav(r)
已知能速的定义为ve?Sav，对于TE波，波导中平均能量密度为 wavWav?Weav?Wmav?2Weav??Ex?Ey
?22?波导中能流密度平均值仅与场强的横向分量有关。对于TE波，能流密度的平均值为
Sav?Ex?Ey22Hx?Hy
22波导中电场和磁场的横向分量关系为
EyEx??ZTE?HyHx?????1???????c?2
将上述结果代入，求得TE波的能速为
S1ve?av??Wav?ZTE
???1???????c?2??????v1??????
?c?2同理对于TM波也可或获得同样结果。
9-7 试证波导中相速vp与群速vg的关系为
vg?vp??gdvpd?g
解 根据群速的定义vg?的关系为 kz?d?，对于波导，k?kz。又知波导的相位常数与相速dk?vp???kzvp，则
dvpd?d?kzvp? vg???vp?kzdkzdkzdkz
6
根据波导波长与相位常数的关系，得
kz?2??g?dkz??2??g2d?g
则
2??dvp2??g?dvp?vg?vp???vp??g ???g?2??d?gd?g9-8 推导式（9-6-3）
解 将麦克斯韦旋度方程??H?j??E，??E??j??H在圆柱坐标系中展开，得
?1?Hz?H???1??rH??1?Hr???Hr?Hz??? j??E?er???e??e??z????r??????z??r?r?????z??r?r?1?Ez?E???1??rE??1?Er???Er?Ez??j??H?er??r????z???e???z??r??ez??r?r?r????
??????将E?erEr?e?E??ezEz代入上式，并考虑到
???jkz，得 ?z?Hz1??rH??1?Hr1?Hz?j??E?；?jkzH??j??Er；?jkzHr???j??Ez ?rr??r?rr???Ez1??rE??1?Er1?Ez??j??H?；?jkzE???j??Hr；?jkzEr????j??Hz ?rr??r?rr??上式整理后，即可求得横向分量的表示式为
Er???Ez1????Hz?jk?jz2??rr??kc???? ???? ?E???Hz1?kz?Ez??j?j??2?r???rkc?Hr??Hz?1????Ez??j?jkz2?? r???rkc???Ezkz?Hz?1??? j???j2???rr???kc?2H???2其中 kc?k2?kz
9-9 推导式（9-6-18）
7
解 对于TE波，Ez?0, H z ?r,?,z??H0z?r,??e?jkzz 建立圆柱坐标系，H0z满足的亥姆霍兹方程为
?2H0z1?H0z1?2H0z2???kcH0z?0 222r?r?rr??令H0z?r,???R?r?????，代入上式，得
r2d2R?r?rdR?r?1d2Φ???22 ??kcr??R?r?dr2R?r?drΦ???d?2令方程两边等于k?，获得下述两个常微分方程：
2d2Φ???2?kΦ????0 ?2d?d2R?r?dR?r?222r?r?kr?kR?r??0 c?2drdr2??其中Φ???的通解为
Φ????B1cosk???B2sink??
由于H0z随角度?的变化周期为2?，因此，k?必须为整数。即
Φ????B1cosm??B2sinm?
式中m = 1,2,3?。考虑到圆波导具有旋转对称性，??0的坐标轴可以任意确定，总可适当选择??0的坐标轴，使上式中的第一项或第二项消失，因此，上式可表示为
?cosm? m?0,1,2,? Φ????B??sinm?R?r?的通解为
R?r??A1Jm?kcr??A2Nm?kcr?
考虑到圆波导中心处的场应为有限，但r?0时，Nm?0????，故常数A2?0，即R?r??A1Jm?kcr?。因此Hz?r,?,z?的通解为
8
?cosm??jkzz Hz?r,?,z??A1BJm?kcr??e?sinm?那么，根据圆波导的横向分量的纵向场分量表示式，即可求得各个分量
Er,E?,Hr,H?的表示式。
9-10 已知空气填充的圆波导直径d?50mm，若工作频率f?6.725GHz，给出可能传输的模式，若填充相对介质常数?r?4的介质以后，再求可能传输的模式。 解 当圆波导内为空气时，工作波长为
c3?108????44.6?mm? 9f6.725?10已知TM波的截止波长为?c?2?a，因此能够传输的模式对应的第一类柱Pmn贝塞尔的根Pmn必须满足下列不等式
?c???Pmn?2?a??Pmn?3.52
由教材表9-6-1可见，满足上述条件的只有P01因此只有TM01波存在。
TE波的截止波长为?c?2?a，那么能够传输的模式对应的第一类柱贝塞尔?Pmn?必须满足下列不等式 的导数根Pmn
?n?3.52 ?c???Pm??由教材表9-6-2可见，满足上述条件的只有P11和P21，因此只有TE11和TE21波可以传输。
填充介电常数为?r?4理想介质后，工作波长为?????22.3?mm?，则能?r够传输的TM模式对应的第一类柱贝塞尔的根Pmn必须满足下列不等式
?c?????Pmn?由
教
材
表
9-6-1
2?a?Pmn?7.04 ??可见，满足上述条件的模式为
9
TM01波，TM02波，TM11波，TM12波，TM21波。
?必须满足下列不能够传输的TE模式对应的第一类柱贝塞尔的导数根Pmn
等式
?c??2?a??7.04 ????Pmn?Pmn那么，由原书表9-6-2可见，满足上述条件的模式为
TE01波，TE02波，TE11波，TE12波，TE21波，TE22波。
9-11 当比值(f/fc)为何值时，工作于主模的矩形波导中波导壁产生的损耗最小？（指获得最小衰减常数k??）。
解 当矩形波导传播TE10波时，其衰减常数为
k???RS?fc???1??????f?2?fc?a?2b?2?f???12?f????c? ?A??????2ba?f?????fc??fc????1?????f??f????fc，则求k??的最小值问题转化为求函数f2式中A仅与波导的参数有关。令x?M?x??a?2bx2x1?x2??的最小值问题。由
dM?0，得2bx4??6b?3a?x2?a?0，解此方程，dx得
x?2?6b?3a???6b?3a?2?8ab
4b若取x?2?6b?3a???6b?3a?2?8ab4b?1，则1?x2?0。由于x?0，则x?1?x2??0。
故 x2??6b?3a???6b?3a?2?8ab4bx?2不合理。应取
?6b?3a???6b?3a?2?8ab4b
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