其最大值为
Jsx?0max?Jsx?amax?2H0?118.5?Am?
宽壁上表面电流为
JsJsy?0?ey??exHx?ezHz???ezHx?exHz ??ey??exHx?ezHz??ezHx?exHz
y?b因此，宽壁上表面电流的振幅为
J?J?Hx?Hz22y?0y?b?2122???kza?2??x??? ?2H0?1??2?1????sin??a????????12
???x???2H0?1?0.25sin2???
?a???dF?x????x???令F?x??1?0.25sin2??，则 ?sin?dx2a?a?a????x?cos???a?x? ?12由
adF?x??0，获知x?0，，a为极点。又因
dx2d2F?x??2?2???cosx? ?dx22a2a???2?计算表明，当x?0时，cos??ad2F?x???0； x??1，2dx?d2F?x?a?2???0； 当x?时，cos?x???1，2dx2a???2?当x?a时，cos??ad2F?x???0。 x??1，2dx?由此可见，当x?
a
时，即宽边中部F?x?取得最大值，求得表面电流最大值为 2
y?bmaxJsy?0max?Js?H?2H01?0.25?132.5?Am?
④因H耗功率为
z???k????2k???e，损耗功率，那么，单位长度内的损P?Pez?0z??z?0?P?Pz?01?e?2k????1000?1?e?2?0.013?1?25.66?W?
16
????
9-17 试证式（9-8-8）。
解 已知表面电流Js?en?H，式中en为导体表面的外法线方向上的单位矢量。那么，表面电流的大小为Js?Ht，式中Ht表示表面磁场的切向分量。因此，损耗功率为
P22l??SJsRSds?RS?SHtds
此面积分应沿谐振腔的6个内壁求积，即
Pl?RS?2?b?a200Hxz?0dxdy?2?d0?b0H2zx?0dydz
?2?da?22?0?0??Hxy?0?Hzy?0??dxdz???
24k2已知式中 Hza2H20xz?0??2sin2?????ax??
H22zx?0?4H20sin?kzz?
22H24kzaH20xy?0??2cos2?k???zz?sin2??ax??
H2?4H2???zy?00sin2?kzz?cos2?ax??? 则 ?ba2dxdy?2a3bk2z0?0Hxz?0?2H20?2a3b2d2H0
?d0?b220Hzx?0dydz?2bdH0
?d?a??00H2??xy??dxdz????a3?d?ad????H2?0?H2zy?00 3代入后，求得 PH2?2a3b?2d3b?ad?ad3?l?2RS0????d2??
9-18 推导式（9-8-10）及式（9-8-12）。 解 当圆波导传播TM波时，则
17
kz2?Pmn??k???
?a?22若谐振腔的长度为l，则kz?2l?。那么， d2?l???P?k2?????mn?
?d??a?又知k?2?f??，则谐振频率为
fTM?k2????12????l???Pmn?? ?????d??a?22同理，对于TE波的圆柱谐振腔，可以证明谐振频率为
fTE?
k2????12??????l???Pmn?? ????d??a?229-19 已知矩形波导谐振腔的尺寸为8cm?6cm?5cm，试求发生谐振的4个最低模式及其谐振频率。
解 已知矩形波导谐振腔的谐振频率为
fmnl?12???m??n??l????????? ?a??b??d?222当腔内为真空时，根据题中给定的尺寸，则谐振频率为
fmnl?1.5?1010?m??n??l????????? ?8??6??5?222那么，发生谐振的4个最低模式为TM110，TE101，TE011，TE111和TM111，对应的谐振频率分别为
f110?3.125?GHz?； f011?3.91?GHz?；
f101?3.54?GHz? f111?4.33?GHz?
9-20 已知空气填充的圆波导半径为10mm，若用该波导形成谐振腔，试求为了使30GHz电磁波谐振于TM021模式所需的波导长度。 解 已知圆波导谐振腔工作于TM波时，其谐振频率为
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fTM?12????l???Pmn?? ????da????22若要求fTM?30GHz, a?10mm, P02?5.52，令腔长为半波导波长，即l = 1，那么，谐振腔的最短长度d由下式
1.5?108????5.52?930?10??????
?d0.01????22求得 d = 10.5(mm)
9-21 已知空气填充的矩形波谐振腔尺寸为25cm?1.25cm?60cm，谐振模式为TE102，在保证尺寸不变条件下，如何使谐振模式变为TE103。 解 已知矩形谐振腔的谐振频率为
fmnl?12???m??n??l????????? ?a??b??d?222由此可见，改变腔内介质的介电常数即可变更谐振腔的谐振频率。当腔内充满空气时，谐振于TE102模式的谐振频率为
f102c?1??2??????? 2?a??d?22若腔内充满介质，谐振于TE103模式的谐振频率为
f103?c2?r?1??3?????? ?a??d?22由f102 = f103，求得填充介质的相对介电常数 ?r?1.52。
9-22 试证波导谐振腔中电场储能最大值等于磁场储能最大值。 解 波导谐振腔内的电磁场应该满足无源区中的麦克斯韦方程，即
??H?r??j??E?r? ??E?r???j??H?r?
12设谐振腔的体积为V，则电场最大储能为We???Edv，磁场最大储能
V212为Wm???Hdv，那么
V2
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Wm??1122?H?r?dv?2???E?r?dv V22??V因
??E*?r?????E?r?????E*?r????E?r??E*?r??????E?r?
???E?r??E*?r??????E?r?
2??故
?V??E?r?dv????E*?r?????E?r??dv??E*?r??????E?r?dv2VVSV????E?r?????E?r???ds??E*?r??????E?r?dv ??E?r?????E?r???ends??E*?r??????E?r?dv
SV利用矢量恒等式A?B?C?A?B?C，则式中第一项积分的被积函数可改写为
Ei?r?????Ei?r???en?en?Ei?r?????Ei?r???en?Ei?r?????Ei?r?? 由于腔壁上电场强度的切向分量为零，即
en?E?r??0
故面积分
?E?r?????E?r???eSnds?0，则
?考虑到
V??E?r?dv??E*?r??????E?r?dv
2V????E?r???j????H?r???2??E?r?
Wm??1122???H?r?dv???Erdv2?V2V2??
112???E*?r??E?r?dv???E?r?dv?WeV22V则
9-23 已知空气填充的黄铜矩形谐振腔的尺寸为a?b?c?3cm，谐振模式为TE111，黄铜的电导率??1.5?107(S/m)，试求该谐振腔的品质因素。 解 矩形波导中TE11波的电场与磁场的各分量为
Hx?jkzH0????????jkzz sin?x?cos?y?e2aabkc???? 20