学案41 空间的垂直关系
导学目标： 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面、面面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．
自主梳理
1．直线与平面垂直
(1)判定直线和平面垂直的方法 ①定义法．
②利用判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条________直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也________这个平面．
(2)直线和平面垂直的性质
①直线垂直于平面，则垂直于平面内________直线． ②垂直于同一个平面的两条直线________． ③垂直于同一直线的两个平面________． 2．直线与平面所成的角
平面的一条斜线与它在这个平面内的________所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角．
一条直线垂直于平面，说它们所成的角为________；直线l∥α或l?α，说它们所成的角是______角．
3．平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的判定方法 ①定义法．
②利用判定定理：如果一个平面经过另一个平面的____________，那么这两个平面互相垂直．
(2)平面与平面垂直的性质 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们________的直线垂直于另一个平面．
4．二面角的平面角
以二面角的棱上的任意一点为端点，在两个面内分别作________棱的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．
自我检测 1．(2010·浙江改编)设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，
则下列命题正确的是________(填序号)．
①若l⊥m，m?α，则l⊥α； ②若l⊥α，l∥m，则m⊥α； ③若l∥α，m?α，则l∥m； ④若l∥α，m∥α，则l∥m.
2．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件： ①存在平面γ，使得α，β都垂直于γ； ②存在平面γ，使得α，β都平行于γ； ③存在直线l?α，直线m?β，使得l∥m；
④存在异面直线l、m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β. 其中，可以判定α与β平行的条件有________个．
3．(2009·四川卷改编)如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的序号是________．
①PB⊥AD；
②平面PAB⊥平面PBC； ③直线BC∥平面PAE；
④直线PD与平面ABC所成的角为45°.
4．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)
5．(2011·大纲全国，16)已知点E、F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值为________．
探究点一 线面垂直的判定与性质
例1 Rt△ABC所在平面外一点S，且SA＝SB＝SC，D为斜边AC的中点．
(1)求证：SD⊥平面ABC；
(2)若AB＝BC.求证：BD⊥平面SAC.
变式迁移1 四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD.已知∠ABC＝45°，SA＝SB.
证明：SA⊥BC.
探究点二 面面垂直的判定与性质
例2 如图所示，已知四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面为正方形，O1、O分别为上、下底面的中心，且A1在底面ABCD内的射影是O.求证：平面O1DC⊥平面ABCD.
变式迁移2 (2011·江苏)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．
求证：(1)直线EF∥平面PCD；
(2)平面BEF⊥平面PAD.
探究点三 直线与平面、平面与平面所成的角 例3 (2009·湖北)如图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD＝2a，AD＝2a，点E是SD上的点，且DE＝λa(0<λ≤2)．
(1)求证：对任意的λ∈(0,2]，都有AC⊥BE；
(2)设二面角C—AE—D的大小为θ，直线BE与平面ABCD所成的角为φ，若tan θtan φ＝1，求λ的值．
变式迁移3 (2009·北京)如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC.
(1)求证：BC⊥ 平面PAC.
(2)当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成角的正弦值． (3)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？并说明理由．
转化与化归思想
例 (14分)已知四棱锥P—ABCD，底面ABCD是∠A＝60°的菱形，又PD⊥底面ABCD，
点M、N分别是棱AD、PC的中点. (1)证明：DN∥平面PMB； (2)证明：平面PMB⊥平面PAD. 【答题模板】
证明 (1)取PB中点Q，连结MQ、NQ，因为M、N分别是棱AD、PC的中点，所以QN∥BC∥MD，且QN＝MD，故四边形QNDM是平行四边形，
于是DN∥MQ.[4分]
又∵MQ?平面PMB，DN?平面PMB ∴DN∥平面PMB.[7分]
(2)∵PD⊥平面ABCD，MB?平面ABCD，∴PD⊥MB.[9分] 又因为底面ABCD是∠A＝60°的菱形，且M为AD中点，所以MB⊥AD.
又AD∩PD＝D，所以MB⊥平面PAD.[12分]