又∵MB?平面PMB，∴平面PMB⊥平面PAD.[14分] 【突破思维障碍】 1．立体几何中平行与垂直的证明充分体现了转化与化归的思想，其转化关系如图．
2．在解决线面、面面平行或垂直的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线”到“线面”，再到“面面”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”．
1．证明线面垂直的方法：(1)定义：a与α内任何直线都垂直?a
m、n?α，m∩n＝A??
??l⊥α；(3)判定定理2：⊥α；(2)判定定理1：
?l⊥m，l⊥n?
a∥b，a⊥α?b⊥α；(4)面面平行的性质：α∥β，a⊥α?a⊥β；(5)面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β.
2．证明线线垂直的方法：(1)定义：两条直线的夹角为90°；(2)平面几何中证明线线垂直的方法；(3)线面垂直的性质：a⊥α，b?α?a⊥b；(4)线面垂直的性质：a⊥α，b∥α?a⊥b.
3．证明面面垂直的方法：(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；(2)判定定理：a?α，a⊥β?α⊥β.
(满分：90分)
一、填空题(每小题6分，共48分) 1．(2010·扬州月考)已知直线a，b和平面α，β，且a⊥α，b⊥β，那么α⊥β是a⊥b的________条件．
2．已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线m、n，有下列四个命题：
①若m∥n，m⊥α，则n⊥α；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；③若
m⊥α，m∥n，n?β，则α⊥β；④若m∥α，α∩β＝n，则m∥n.
其中正确命题是________(填序号)．
3．设直线m与平面α相交但不垂直，给出以下说法： ①在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直； ②过直线m有且只有一个平面与平面α垂直； ③与直线m垂直的直线不可能与平面α平行； ④与直线m平行的平面不可能与平面α垂直． 其中错误的是________． 4．(2009·江苏)设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；
②若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行； ③设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；
④直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直． 上面命题中，真命题的序号是__________(写出所有真命题的序．．．号)．
5．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为____________________________________________________________．
6．(2011·福建)三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P－ABC的体积为________．
7．如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长是1，过A点作平面A1BD的垂线，垂足为点H，有下列三个命题：
①点H是△A1BD的中心； ②AH垂直于平面CB1D1； ③AC1与B1C所成的角是90°.
其中正确命题的序号是____________．
8．正四棱锥S－ABCD的底面边长为2，高为2，E是边BC的
中点，动点P在表面上运动，并且总保持PE⊥AC，则动点P的轨迹的周长为________．
二、解答题(共42分) 9．(12分)(2011·安徽)如图，ABEDFC为多面体，平面ABED与平面ACFD垂直，点O在线段AD上，OA＝1，OD＝2，△OAB，△OAC，△ODE，△ODF都是正三角形．
(1)证明直线BC∥EF；
(2)求棱锥F－OBED的体积．
10．(14分)(2009·天津)如图，在四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD＝CD＝1，DB＝22.
(1)证明PA∥平面BDE； (2)证明AC⊥平面PBD；
(3)求直线BC与平面PBD所成的角的正切值．
11．(16分) 如图，在四棱锥P—ABCD中，平面PAD⊥面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝45.
(1)设M是PC上的一点，证明平面MBD⊥平面PAD. (2)求四棱锥P—ABCD的体积．
学案41 空间的垂直关系
答案
自主梳理
1．(1)②相交 ③垂直 (2)①任意 ②平行 ③平行 2．射影 直角 0° 3.(1)②一条垂线 (2)交线 4.垂直于 自我检测
1．② 2.2 3.④ 4.DM⊥PC(或BM⊥PC等) 25.3
解析 方法一 如图，建立空间直角坐标系．
设面ABC的法向量为n1＝(0,0,1)，面AEF的法向量为n2＝(x，y，z)．设正方体的棱长为1，
12
∵A(1,0,0)，E(1,1，3)，F(0,1，3)， →＝(0,1，1)，EF→＝(－1,0，1)， ∴AE33
1??y＋3z＝0，
则?取x＝1，则y＝－1，z＝3.
1
?－x＋?3z＝0，
故n2＝(1，－1,3)，
n1·n2311
∴cos〈n1，n2〉＝＝11，
|n1||n2|
311
∴面AEF与面ABC所成的二面角的平面角α满足cos α＝11，222
sin α＝11，∴tan α＝3.
方法二 如图，设正方体的棱长为3，则由题意知CF＝2，BE＝1，分别延长FE、CB交于点M，连结AM，作BN⊥AM于点N，连结EN.
∵EB⊥平面ABM，AM?平面ABM， ∴EB⊥AM.
又BN⊥AM，EB∩BN＝B， ∴AM⊥平面BEN，∴AM⊥EN.
∴∠BNE即为面AEF与面ABC所成的二面角的平面角．
BEMB1MB
∵BE∥CF，∴CF＝MC，即2＝，
MB＋3
∴MB＝3，∴AM＝AB2＋MB2＝32. 11由2AM·BN＝2BM·AB得
BM·AB3×332BN＝AM＝＝2. 32
又EB⊥平面ABM，∴EB⊥BN，