分析： （1）设每间客房日租金提高4x元（x∈N，x＜20），记该中心客房的日租金总收入为y，根据条件即可求出y的表达式；
（2）利用基本不等式或者一元二次函数的性质求最值即可． 解答： 解：（1）若每间客房日租金提高4x元，则将有10x间客房空出，
?
故该中心客房的日租金总收入为y=（40+4x）=40（10+x），（这里x∈N且x＜20）． （2）∵y=40（10+x）≤40（
=40×225=9000，
+
当且仅当10+x=20﹣x，即x=5时，y的最大值为9000，
即每间客房日租金为40+4×5=60（元）时，该中心客房的日租金总收入最高，其值为9000元． 点评： 本题主要考查函数的应用问题，根据条件建立函数关系，利用基本不等式的性质求最值是解决本题的关键．本题也可以使用一元二次函数的最值性质解决． 19．（10分）已知f（x）=|x+a|（a＞﹣2）的图象过点（2，1）． （1）求实数a的值；
（2）如图所示的平面直角坐标系中，每一个小方格的边长均为1．试在该坐标系中作出函数y=
的简图，并写出（不需要证明）它的定义域、值域、奇偶性、单调区间．
考点： 函数的图象．
专题： 函数的性质及应用．
分析： （1）根据图象过点（2，1），代入求出a的值，
（2）根据分段函数分段画的原则，根据函数的图象，我们可以分析出自变量，函数值的取值范围，从而得到定义域和值域，分析出从左到右函数图象上升和下降的区间，即可得到函数的单调区间 解答： 解：（1）依题意得f（2）=1， 即|2+a|=1， ∵a＞﹣2，
∴2+a=1，解得a=﹣1，
（2）由（1）可得f（x）=|x﹣1|，故y==，即y=．
11
定义域：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）， 值 域：，
奇偶性：非奇非偶函数， 单调（递减）区间：（﹣∞，0]．
点评： 本题考查的知识点是分段函数的解析式求法及其图象的作法，函数的定义域及其求法，函数的值域，函数的图象，其中利用零点分段法求出函数的解析式是解答本题的关键．
20．（12分）设函数f（x）=logm（1+mx）﹣logm（1﹣mx）（m＞0，且m≠1）． （1）判断f（x）的奇偶性；
x
（2）当m=2时，解方程f（6）=1；
2
（3）如果f（u）=u﹣1，那么，函数g（x）=x﹣ux的图象是否总在函数h（x）=ux﹣1的图象的上方？请说明理由．
考点： 对数函数图象与性质的综合应用；对数函数的图像与性质． 专题： 计算题；函数的性质及应用．
分析： （1）先求出函数f（x）的定义域为（﹣，），再确定f（﹣x）=logm（1﹣mx）﹣logm（1+mx）﹣f（x）即可；
xx
（2）当m=2时，f（x）=log2（1+2x）﹣log2（1﹣2x），由f（6）=1得log2（1+2?6）﹣log2
x
（1﹣2?6）=1，从而求解；
（3）方法一：注意到f（x）的定义域为（﹣，）．若m＞1，则﹣＜u＜，即u＜1；若0＜m＜1，则考虑函数F（x）=f（x）﹣x+1，也可得到u＜1；则g（x）﹣h（x）=（x﹣ux）
222
﹣（ux﹣1）=（x﹣u）+1﹣u≥1﹣u＞0，从而证明； 方法二：如同方法一讨论，也可构造函数G（x）=同方法一中的方法证明即可．
解答： 解：（1）函数f（x）的定义域为（﹣，），关于原点对称； 又f（﹣x）=logm（1﹣mx）﹣logm（1+mx）﹣f（x）， 即f（﹣x）=﹣f（x）， 故f（x）为定义域（﹣，）上的奇函数．
（2）当m=2时，f（x）=log2（1+2x）﹣log2（1﹣2x），
xxx
由f（6）=1得log2（1+2?6）﹣log2（1﹣2?6）=1，
12
2
22
=﹣m
x﹣1
﹣1，从而
去对数得1+2?6=2（1﹣2?6）， 解得6=，从而x=﹣1． 经检验，x=﹣1为原方程的解．
（3）方法一：注意到f（x）的定义域为（﹣，）． 若m＞1，则﹣＜u＜，即u＜1；
若0＜m＜1，则考虑函数F（x）=f（x）﹣x+1．
因logm（1+mx）在（﹣，）上递减，而logm（1﹣mx）在（﹣，）上递增， 故f（x）在（﹣，）上递减，又﹣x在（﹣，）上递减，所以F（x）在（﹣，）上也递减；
注意到F（0）=1＞0，F（1）=f（1）＜0， 所以函数F（x）在（0，1）上存在唯一零点， 即满足f（u）=u﹣1的u∈（0，1）（且u唯一），
2
故u＜1．
2
综上所述，u＜1．
2
于是g（x）﹣h（x）=（x﹣ux）﹣（ux﹣1）
222
=（x﹣u）+1﹣u≥1﹣u＞0， 即g（x）﹣h（x）＞0，
即对于任一x∈R，均有g（x）＞h（x），
2
故函数g（x）=x﹣ux的图象总在函数h（x）=ux﹣1图象的上方． 方法二：注意到f（x）的定义域为（﹣，）． 若m＞1，则﹣＜u＜，即u＜1； 若0＜m＜1，设函数G（x）=注意到上递增，
又G（0）=1﹣＜0，G（1）=
﹣1＞0，
在（﹣，）上递增，m
x﹣1
22
x
xx
=﹣m
x﹣1
﹣1，
在（﹣，）上递减，故G（x）在（﹣，）
所以函数G（x）在（0，1）上存在唯一零点，又G（x）=0， 即f（x）=x﹣1，
于是，满足f（u）=u﹣1的u∈（0，1）（且u唯一），
2
故u＜1．
2
综上所述，u＜1．
2
于是g（x）﹣h（x）=（x﹣ux）﹣（ux﹣1）
222
=（x﹣u）+1﹣u≥1﹣u＞0， 即g（x）﹣h（x）＞0，
即对于任一x∈R，均有g（x）＞h（x），
13
故函数g（x）=x﹣ux的图象总在函数h（x）=ux﹣1图象的上方．
点评： 本题考查了函数的性质的应用及恒成立问题，同时考查了分类讨论的数学思想应用，属于中档题． 21．（14分）对于四个正数x，y，z，w，如果xw＜yz，那么称（x，y）是（z，w）的“下位序对”．
（1）对于2，3，7，11，试求（2，7）的“下位序对”；
（2）设a，b，c，d均为正数，且（a，b）是（c，d）的“下位序对”，试判断，，
之间
2
的大小关系；
++
（3）设正整数n满足条件：对集合{t|0＜t＜2014}内的每个m∈N，总存在k∈N，使得（m，2014）是（k，n）的“下位序对”，且（k，n）是（m+1，2015）的“下位序对”．求正整数n的最小值．
考点： 不等式的基本性质． 专题： 不等式．
分析： （1）据新定义，代入计算判断即可；
（2）根据新定义得到ad＜bc，再利用不等式的性质，即可判断；
（3）由题意得到
+
，继而求出n≥4029，再验证该式对集合{t|0＜t＜2014}
内的每个m∈N的每个正整数m都成立，继而求出最小值 解答： 解：（1）∵3×7＜11×2， ∴（2，7）的下位序对是（3，11）．
（2）∵（a，b）是（c，d）的“下位序对”， ∴ad＜bc，
∵a，b，c，d均为正数，故同理
＜．
＜．
﹣=
＞0，即
﹣＞0，所以
＞；
综上所述，＜
（3）依题意，得，
注意到m，n，l整数，故，
于是2014（mn+n﹣1）≥2014×2015k≥2015（mn+1）， ∴n≥
，
+
该式对集合{t|0＜t＜2014}内的每个m∈N的每个正整数m都成立 ∴n≥
=4029，
14
∵∴∴
＜＜＜＜
＜
， ＜，
+
+
，
∴对集合{t|0＜t＜2014}内的每个m∈N，总存在k∈N，使得（m，2014）是（k，n）的“下位序对”，且（k，n）是（m+1，2015）的“下位序对”． 正整数n的最小值为4029
点评： 本题考查了新定义的学习和利用，关键掌握读懂新定义，属于难题
15