第五章 定积分
【考试要求】
1．理解定积分的概念和几何意义，了解可积的条件． 2．掌握定积分的基本性质．
3．理解变上限的定积分是变上限的函数，掌握变上限定积分求导数的方法． 4．掌握牛顿——莱布尼茨公式．
5．掌握定积分的换元积分法与分部积分法．
6．理解无穷区间广义积分的概念，掌握其计算方法． 7．掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积．
【考试内容】
一、定积分的相关概念
1．定积分的定义
设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点
a?x0?x1?x2???xn?1?xn?b，
把区间[a,b]分成n个小区间[x0,x1]，[x1,x2]，?，[xn?1,xn]， 各个小区间的长度依次为?x1?x1?x0，?x2?x2?x1，?，?xn?xn?xn?1．在
，作函数值f(?i)与小区间长度??i?xi）
n每个小区间[xi?1,xi]上任取一点?i （xi?1，并作出和S??xi的乘积f(?i)?xi （i?1,2,?,n）记
?i?1f(?i)?xi．
??max{?x1,?x2,?,?xn}，如果不论对[a,b]怎样划分，也不论在小区间
[xi?1,xi]上点?i怎样选取，只要当??0时，和S总趋于确定的极限I，那么称这个极
限I为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分（简称积分），记作
?baf(x)dx，即
?banf(x)dx?I?lim)i， ?f?i(?x??0i?1其中f(x)叫做被积函数，f(x)dx叫做被积表达式，x叫做积分变量，a叫做积分下限，
b叫做积分上限，[a,b]叫做积分区间．
说明：定积分的值只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，也就是说
?baf(x)dx??baf(t)dt??baf(u)du．
2．定积分存在的充分条件（可积的条件）
（1）设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积．
（2）设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积． 说明：由以上两个充分条件可知，函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上一定可积；若f(x)在[a,b]上可积，则f(x)在区间[a,b]上不一定连续，故函数f(x)在区间[a,b]上连续是f(x)在[a,b]上可积的充分非必要条件．
3．定积分的几何意义
在区间[a,b]上函数f(x)?0时，定积分
?baf(x)dx在几何上表示由曲线
y?f(x)、两条直线x?a、x?b与x轴所围成的曲边梯形的面积．
在区间[a,b]上f(x)?0时，由曲线y?f(x)、两条直线x?a、x?b与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方，定积分负值．
在区间[a,b]上f(x)既取得正值又取得负值时，函数f(x)的图形某些部分在x轴的上方，而其他部分在x轴的下方，此时定积分
?baf(x)dx在几何上表示上述曲边梯形面积的
?baf(x)dx表示x轴上方图形的面积减去
x轴下方面积所得之差．
二、定积分的性质
下列各性质中积分上下限的大小，如不特别指明，均不加限制；并假定各性质中所列出的定积分都是存在的． 性质1．当a?b时，
??babaf(x)dx?0．
f(x)dx???f(x)dx．
ba性质2．当a?b时，
ba性质3．
???[f(x)?g(x)]dx??abf(x)dx??g(x)dx．
ba说明：该性质对于有限个函数都是成立的．
baba性质4．
． kf(x)dx?k?f(x)dx （k是常数）
ab性质5．
f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx．
accb说明：该性质称为定积分对于积分区间的可加性． 性质6．如果在区间[a,b]上f(x)?1，则
?ba1dx??badx?b?a．
性质7．如果在区间[a,b]上f(x)?0，则
?ba． f(x)dx?0 （a?b）
推论（1）： 如果在区间[a,b]上f(x)?g(x)，则
?推论（2）：
baf(x)dx??ba． g(x)dx （a?b）
?baf(x)dx??baf(x)dx （a?b）．
性质8．（估值不等式）设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值，则
m(b?a)??baf(x)dx?M(b?a) （a?b）．
性质9．（定积分中值定理）如果函数f(x)在积分区间[a,b]上连续，则在[a,b]上至少存在一点?，使得下式成立：
?ba． f(x)dx?f(?)(b?a) （a???b）
说明：该公式称为积分中值公式，f(?)??b?a1baf(x)dx称为函数f(x)在区间
[a,b]上的平均值．
三、积分上限函数及其导数
1．积分上限函数的定义
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且设x为[a,b]上的一点，由于f(x)在区间
[a,x]上仍旧连续，因此定积分?f(x)dx存在．这里，x既表示定积分的上限，又表示
ax积分变量．因为定积分与积分变量的记法无关，所以为了明确起见，可以把积分变量改用其 他符号，例如用t表示，则上面的定积分可以写成
?xaf(t)dt．如果上限x在区间[a,b]上
任意变动，则对于每一个取定的x值，定积分有一个对应值，所以它在[a,b]上定义了一 个函数，记作?(x)：?(x)?函数（或称变上限定积分）．
?xa，这个函数即为积分上限 f(t)dt （a?x?b）
2．积分上限函数的导数
定理1：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则积分上限函数?(x)??xaf(t)dt在
[a,b]上可导，并且它的导数
??(x)??dxdxa． f(t)dt?f(x) （a?x?b）
定理2：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则函数?(x)??xaf(t)dt就是f(x)在
[a,b]上的一个原函数．
说明：对于积分上限函数的复合函数?(x)???(x)af(t)dt，求导法则可按下述公式进行：
??(x)??dxd?(x)af(t)dt?f[?(x)]??(x)．
若积分下限为函数?(x)，即?(x)??a?(x)f(t)dt，求导法则可按下述公式进行：
??(x)??dxda?(x)f(t)dt?ddx(???(x)af(t)dt)??f[?(x)]??(x)．
若积分上限和下限均有函数，即?(x)??h(x)?(x)f(t)dt，求导法则可按下述公式进行：
0??(x)?ddx?dxdh(x)?(x)f(t)dt??(x)0ddx(?h(x)0f(t)dt???(x)f(t)dt)
?(?h(x)0f(t)dt??f(t)dt)?f[h(x)]h?(x)?f[?(x)]??(x)．
四、牛顿——莱布尼茨公式
定理3：如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，则
?baf(x)dx?F(b)?F(a)．
这个定理表明，一个连续函数在区间[a,b]上的定积分等于它的任一个原函数在区间
[a,b]上的增量，这就给定积分提供了一个有效而简便的计算方法．通常把上述公式称为
微积分基本公式．
五、定积分的换元法和分部积分法
1．定积分的换元法
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，函数x?（1）?(?)?a，?(?)?b；
（2）?(t)在[?,?]（或[?,?]）上具有连续导数，且其值域R??[a,b]，则有
?(t)满足条件：
?baf(x)dx????f[?(t)]??(t)dt．
说明：应用换元公式时有两点值得注意：① 用x??(t)把原来变量x代换成新变量t时，
积分限也要换成相应于新变量t的积分限；② 求出f[?(t)]??(t)的一个原函数?(t)后，