不必像计算不定积分那样再要把?(t)变换成原来变量x的函数，而只要把新变量t的上下限分别代入?(t)中然后相减就行了． 例如：计算
?a0a?xdx （a?0）
22解：设x?asint，则dx?acostdt，当x?0时，t?0，当x?a时，t???2．
于是
?a0a?xdx?a2222??0costdt?2a2?2?20(1?cos2t)dt
a?1?2?a． ?t?sin2t???2?24?02．定积分的分部积分法
依据不定积分的分部积分法，可得
22?bau(x)v?(x)dx???u(x)v?(x)dx???u(x)v(x)??v(x)u?(x)dx?
??a??abbb??u(x)v(x)?a?简记作
?bav(x)u?(x)dx，
b?bauv?dx??uv?a??bavu?dx 或
?baudv??uv?a?b?bavdu ．
这就是定积分的分部积分公式．
3．定积分的两个简便公式
（1）若f(x)在[?a,a]上连续且为奇函数，则上连续且为偶函数，则
??a?af(x)dx?0；若f(x)在[?a,a]
?a?af(x)dx?2?f(x)dx．
0a?（2）设 In??20sinxdx?n?20cosxdx，则
nn?1n?331?当n为正偶数时，In??????? ；
nn?2422当n为大于1的正奇数时，In?n?1n?342????? ． nn?253六、无穷限的广义积分
1．函数在无穷区间[a,??)上的反常积分
设函数f(x)在区间[a,??)上连续，取t?a，如果极限limt????taf(x)dx存在，
则称此极限为函数f(x)在无穷区间[a,??)上的反常积分，记作
??ata???af(x)dx，即
?这时也称反常积分
f(x)dx?limt????f(x)dx，
???af(x)dx收敛；如果上述极限不存在，则函数f(x)在无穷区间
??a[a,??)上的反常积分?散，这时记号
f(x)dx就没有意义，习惯上称为反常积分???af(x)dx发
???af(x)dx就不再表示数值了．
2．函数在无穷区间(??,b]上的反常积分
设函数f(x)在区间(??,b]上连续，取t?b，如果极限limt????btf(x)dx存在，
则称此极限为函数f(x)在无穷区间(??,b]上的反常积分，记作
?b??f(x)dx，即
?这时也称反常积分散．
b??f(x)dx?limt????btf(x)dx，
b???b??如果上述极限不存在，则称反常积分f(x)dx收敛；
?f(x)dx发
3．函数在无穷区间(??,??)上的反常积分
设函数f(x)在区间(??,??)上连续，如果反常积分
?0??f(x)dx和
???0f(x)dx都收敛，则称上述两反常积分之和为函数f(x)在区间(??,??)上的反常
积分，记作
?????f(x)dx，即
?这时也称反常积分
????f(x)dx??0??f(x)dx????0f(x)dx，
?????????f(x)dx收敛；否则就称反常积分?f(x)dx发散．
4．无穷限广义积分的计算方法
设F(x)为在[a,??)上的一个原函数，若limFx(存)在，则反常积分
x????????ab??????f(x)dx??F(x?)a?b??F??(?)F(?a)x???limF?(x)F；( a)f(x)dx??F(x)????F(b)?F(??)?F(b)?limF(x)；
x???f(x)dx??F(x)????F(??)?F(??)?limF(x)?limF(x)．
x???x?????说明：当F(??)与F(??)有一个不存在时，反常积分
?????f(x)dx发散．
七、求平面图形的面积
1．X?型区域
X?型区域是指：平面图形是由上下两条曲线y?f(x)、y?g(x)（f(x)?g(x)）及直线x?a、x?b所围成，面积计算公式为
A?2．Y?型区域
?ba[f(x)?g(x)]dx．
Y?型区域是指：平面图形是由左右两条曲线x??(y)、x??(y)（?(y)??(y)）及直线y?c、y?d所围成，面积计算公式为
A??dc[?(y)??(y)]dy．
【典型例题】
【例5-1】计算下列定积分．
?1．
?20cosxsinxdx．
??5解：原式???20?16cosxd(cosx)???cos?6511?2x??0?(?)?．
66?02．
?elnxxe1dx．
e解：
??6lnxx21dx??1?12lnxd(lnx)?ln?2?11?x??0?． ?22?1e?3．
?2cosxdx．
???解：
?2?6cosxdx?2?21?cos2x2?61??dx?(?)?2263?1?2?
?4sin2x???6?8．??64．
?1?2l(11?5x)3dx．
1?151?2?d(11?5x)??(11?5x)?解：原式?． 3????25(11?5x)5?2??251211l1?5．
?20tanxdx．
??222解：原式??0?40(secx?1)dx?5?40secxdx??2??tanx?04???2?1??2．
6．
?sinx?sinxdx．
?03解：
?sinx?sinxdx?35??0sinxcosxdx?32??03sin2xcosxdx
?3??20sin2xcosxdx??52???23?3sin2xcosxdx???20sin2xd(sinx)????23sin2xd(sinx)?2??2?224??sin2x???sin2x???(?)?．
555?5?0?5??257．
?a0． a?xdx （a?0）
，当x?0时，t?0；当x?a时，t?222解：设x?asint，则dx?acostdt??2．故
?a01??a2． a?xdx?a?costdt?a???0224222228．
?40x?22x?1dx．
解：设2x?1?t，则x?t?122，dx?tdt，且当x?0时，t?1；
当x?4时，t?3．
t?1故
2?40x?22x?1dx??32t?2dt?121?31?1?t(t?3)dt???3t?
2?3?1233?1?271?22(?9)?(?3)?． ??2?333?【例5-2】计算下列定积分． 1．
??0xcosxdx．
?解：
?00xcosxdx???0xd(sinx)??xsinx?0????0sinxdx??cosx?0??2．
?12．
?2arcsinxdx．